文/扶苏秘史

编辑/扶苏秘史

在现代工程领域，高效、精确的传动系统对于机械装置的性能和可靠性至关重要，谐波传动作为一种创新的机械传动方式，以其独特的特性在精密机械领域引起了广泛关注。

在谐波传动的进一步优化和创新中，双圆弧齿形作为一种重要的齿轮形状，正逐渐成为研究的焦点。

谐波传动作为一种特殊的行星齿轮传动，具有传动比大、结构紧凑、精度高等优势，因此在精密定位、机器人、航天等领域具有广泛应用前景。

而双圆弧齿形作为谐波传动中的一种齿轮形状，以其较低的齿面接触应力和更平稳的传动特性而备受研究者的青睐，因此，深入研究双圆弧齿形谐波传动的设计和接触分析，对于优化谐波传动的性能和可靠性具有重要意义。

01

三维共轭齿面设计解决方案

研究针对柔性支座的柔轮在波发生器作用下的弹性锥进变形情况，采用了有限元方法进行详细分析。

为了深入了解柔轮的弹性锥进变形，研究利用有限元方法对其在波发生器的影响下的变形情况进行了分析，先针对柔性支座的具体结构，建立了相应的有限元模型，其中各组件均被视为柔性体。

柔轮法兰端面和波发生器凸轮的内孔约束了自由度，而柔性轴承内圈与滚子之间的拉杆约束则确保了滚子的位置并避免刚体位移。

各接触对均采用面接触，其中滚子与外圈之间的摩擦系数为0.02，其他接触副的摩擦系数为0.15，椭圆凸轮与内圈之间采用过盈配合，凸轮的自动调整引起柔性轴承和柔轮的变形，模拟了柔轮的装配。

研究中为了获得柔轮锥进变形的详细数据，建立了41条圆形路径在柔轮的中性面上，这些路径沿旋转轴均匀分布，经过建立这些路径，可以详细分析柔轮在不同位置的变形情况。

对于每条路径，径向变形、切向变形和轴向变形分布都被研究考虑，径向和切向变形均呈现出周期性模式，且在长轴和短轴方向上分别呈现出向外和向内的锥进变形，在分析中，轴向变形相对较小且仅影响应力分布，而不会影响谐波传动的运动学。

通过提取中性面变形的详细数据，对不同横截面的中性曲线进行了椭圆拟合，基于拟合结果，确定了柔轮中性面每个横截面的最大径向位移，发现该位移与Z轴基本成线性关系，通过对最大径向位移数据进行线性回归分析，得到了拟合直线以及相应的拟合误差。

02

共轭存在域和共轭齿形分析

在圆形花键的加工过程中，常采用齿轮插齿和线切割放电加工等方法，然而，制造复杂的3D齿面在圆形花键上是具有挑战性且成本较高的。

为了克服这些问题，设计时通常将圆形花键齿设计成正齿轮，而柔轮齿则被设计成与圆形花键齿面相共轭的空间齿面。

在研究中，圆形滑键齿轮被分割成41个截面，从而在坐标系S2中考虑了柔轮齿轮的变化情况。

这些截面沿着旋转轴等距分布，其中主截面对应于z=4 mm，通过研究共轭存在域（共轭存在域）的轴测图和主视图，可以明显看出两个主要部分的共轭存在域，这些主截面中的共轭存在域角度范围为[-1.245°, 7.34°]和[41.995°, 91.834°]。

进一步分析显示，整个柔轮齿轮部分的1st 共轭存在域是主部分的3.631倍，这显著增大了1st 共轭存在域。

为了得到与圆形花键齿廓共轭的柔轮的初始齿面，可以代入方程式，然后基于椭圆拟合来获得每个截面的柔轮齿形，需要注意的是，每个截面有两个柔轮齿形，分别对应于两个共轭存在域。

在分析了柔轮齿轮的共轭性后，重点关注了不同截面上的径向变形、切向变形和轴向变形的分布。

结果表明，随着Z坐标的增加，柔轮齿轮的中性曲线的径向位移逐渐减小，从而使得两个共轭存在域和两个共轭齿形逐渐重叠。

当两个共轭存在域在某个截面上重叠时，同一截面上的两个共轭齿形也会重叠，重叠现象从公切线段开始，延伸至齿顶圆弧和齿根圆弧，这种重叠的弧长占据了总弧长的51%。

03

重叠共轭齿形的优化

随着Z坐标的增加，第一和第二共轭齿形逐渐发散，然后逐渐收敛并最终重叠，这一现象为确定可用共轭齿形引入了不确定因素，增加了整个过程的复杂性，在判断可用共轭齿形时，若两个共轭齿形不重叠或不交叉，则第一个共轭齿形被视为可用。

当两个共轭齿形重叠交叉时，使用第一个共轭齿形作为可用共轭齿形会引发明显的啮合干扰，在这种情况下，第二共轭齿形的一部分出现在第一个共轭齿形内部，因此，合适的可用共轭齿形应由第一和第二共轭齿形组成。

特别需要注意的是，当两个共轭存在域重叠的横截面时，可以观察到圆形花键齿廓段的第一和第二共轭齿形在重叠点之后共同形成可用的共轭齿形。

换句话说，在这样的横截面中，柔轮的可用共轭齿形是由圆形花键齿尖的包络线所形成的，在两个共轭齿形重叠交叉的横截面中，采用特定的方法来确定本节中的可用齿形，以消除不必要的啮合干扰。

鉴于横截面较多，编写了Matlab代码，计算每个横截面的可用齿廓，通过计算重叠部分的端点，确定了重叠端点后的第一和第二共轭存在域所共同确定的共轭齿形作为可用齿形。

谐波传动中的柔轮齿轮主要通过滚齿加工进行生产，然而，柔轮的可用齿面表现出复杂的几何特征，每个截面的齿廓在轴向方向上都会有所变化，这增加了齿面制造的难度。

因此，在综合考虑经济性和可行性的情况下，常常将主截面的齿形应用到所有截面，然后在半径方向上进行合理的调整，以获得可加工的齿面，可加工齿面的设计目标是尽可能保留可用齿面的几何特征。

通过将各截面中可用齿廓的坐标减去主截面中的齿廓坐标，得到了满足上述约束条件的径向移动量Δh。

任意截面中的可用齿廓分别记为(xu, yu, zu)和(xm, ym, zm)，在满足zu = zm和yu j = ym j，以及Δx j = xu j - xm j的情况下，通过取min(Δx j) (j = 1, 2, …, s)计算出径向位移Δh。

04

运动仿真分析

为了对设计的3D共轭齿面的合理性和优越性进行评估，研究人员进行了多段装配和啮合运动的仿真，装配模拟结果展示了可加工齿面的四个典型横截面。

在长轴方向，从齿1至齿3的齿对完全啮合，然而在短轴方向，从齿25至齿26的齿对则完全脱离。

由于柔轮圆锥形变形的影响，完全啮合状态下，靠近封闭端截面（z = 12mm）的齿廓位于最内侧，而开口端截面（z = 0mm）的齿廓则位于最外侧，在脱离状态下，这两段齿廓的位置刚好互换。

对于可加工齿面的四个典型横截面，啮合运动的仿真结果呈现了红色曲线代表原点O1的运动轨迹，与柔轮齿固定连接。

在整个波发生器旋转360°的过程中，柔轮相对于圆形花键多旋转了两个齿，在轮齿啮合过程中，圆形花键和柔轮轮齿之间不存在啮合干涉。

各截面内的部分齿廓一直处于啮合接触状态，随着波发生器的旋转，从开放端到封闭端，柔轮齿的运动轨迹逐渐变得更加平滑，同时径向位移也逐渐减小，与实际情况相吻合。

在靠近封闭端的截面中，柔轮和圆形花键的齿对仅在齿廓的顶部进行啮合，而在其余部分，柔轮和圆形花键的齿对保持连续啮合，且呈现显著的弧长形状。

关于可加工齿面的四个典型横截面中的齿隙分布，横坐标表示齿数，其中，波发生器长轴处的柔轮齿被标记为1，其他齿则按顺时针方向分别标记为2、3、4，依此类推。

纵坐标表示齿隙值，若齿廓之间存在干涉，则齿隙值为负，四个典型截面的齿隙分布用不同的线型绘制，齿隙值小于0.003mm被视为可能的啮合接触条件，并通过红色圆圈标记出参与啮合的反向间隙值。

综合结果表明，柔轮的不同部分之间存在着一些齿轮齿的啮合，从截面z = 0mm到截面z = 12mm，参与啮合的轮齿数分别为3（从1至3）、5（从1至5）、11（从3至13）和5（从9至14），这些参与啮合的轮齿逐渐远离长轴。

尽管各部分的齿隙分布各不相同，但整体上，柔轮的齿隙分布更加均匀且波动最小，这些仿真结果进一步验证了设计的3D共轭齿面的合理性和优越性。

05

加载牙齿接触分析

研究人员通过在3.1节中的柔轮圆锥变形有限元模型中添加圆形花键分量，构建了谐波齿轮接触分析的有限元模型。

该模型采用了六面体单元形状，同时建立了三个关键参考点：RP-Wave、RP-Flex和RP-Rigid，它们分别与波发生器凸轮的内壁、柔轮法兰的端面以及圆形花键的外壁耦合。

为了开展分析，研究人员采取了以下步骤：

固定三个参考点RP-i（i = Wave、Flex、Rigid）的所有自由度，通过自动调整凸轮的初始过盈量，实现柔性轴承和柔轮的变形，使得柔轮得以组装，在柔轮与圆形花键的齿面之间建立面接触，并设定摩擦系数为0.15。

释放参考点RP-Flex的旋转自由度，并施加33Nm的逆时针扭矩，从而实现了对柔轮的加载。

将逆时针方向的旋转位移施加到参考点RP-Wave，实现了波发生器对柔轮的驱动旋转。

在该模型下，研究人员对柔轮分别与正齿轮齿面和3D加工齿面啮合区域的接触压力分布进行了分析。

在与正齿轮齿面的接触中，柔轮一侧有7个齿，而两侧各有14个齿，占总齿数的14%，这些接触主要集中在开口端边缘，最大接触压力出现在第6齿，值为1256.5 MPa。

对于具有3D加工齿面的柔轮一侧，有12个齿（两侧共24个齿）进行啮合，占比达到24%，在这种情况下，齿面的啮合状态相当良好，涵盖了齿宽方向4/5以上的范围，最大接触压力出现在第8齿。

接着，研究人员综合分析了具有正齿轮齿面和3D加工齿面的柔轮接触轮齿的最大接触压力分布，相比于正齿轮齿面，3D加工齿面的柔轮与更多的齿进行了啮合，使得齿间载荷分布更加均匀，幅度减小。

具体而言，在具有正齿轮齿面的柔轮中，接触主要发生在开口端边缘，占全齿面的16.46%，而对于具有3D加工齿面的柔轮，其整个齿宽方向基本都参与了啮合，占全齿面的37.40%，这是正齿轮齿面的2.272倍。

此时，主要的接触区域位于齿宽中部，最大接触压力为492.16 MPa，仅为正齿轮齿面的40.67%。

最后，在波发生器 180°旋转过程中，研究人员对具有正齿轮齿面和3D可加工齿面的谐波齿轮的传动误差进行了分析。

结果表明，这两种齿面的传动误差均不存在长周期的波动，具体数据显示，直齿圆柱齿轮齿面的传动误差峰峰值和平均值分别为0.0984和1.781 μrad，而3D可加工齿面的传动误差峰峰值和平均值分别为0.0701和1.393 μrad，这些结果明确验证了设计的3D可加工齿面相对于正齿轮齿面在传动性能上的优越性。