MATLAB《自动控制原理》相关编程(二)

摘要：本文主要讲解自动控制原理中涉及的相关MATLAB函数，包括拉式变换和反拉式变换、传递函数的化简（并联和串联）、带延时的传递函数、单位速度、单位加速度和其他任意输入的响应。

1.拉式变换 时域函数转化为s域

laplace 函数

语法

laplace(f)
laplace(f,transVar)
laplace(f,var,transVar)

描述
laplace(f)返回f的拉普拉斯变换。默认情况下，自变量为t，变换变量为s。
laplace(f,transVar)使用转换变量transVar代替s。
laplace(f,var,transVar)分别使用自变量var和转换变量transVar代替t和s。

clc;
clear all;
close all;
syms x y
f = 1/sqrt(x);
laplace(f)

运行结果

ans =


pi^(1/2)/s^(1/2)

clc;
clear all;
close all;
syms a t
f = exp(-a*t);
f1 = laplace(f)
syms a y t
f = exp(-a*t);
f2 = laplace(f,y)
f3 = laplace(f,a,y)

运行结果

f1 =

1/(a + s)

f2 =
1/(a + y)
f3 =
1/(t + y)

程序

clc;
clear all;
close all;
syms a b c d w x y z
M = [exp(x) 1; sin(y) i*z];
vars = [w x; y z];
transVars = [a b; c d];
laplace(M,vars,transVars)

运行结果

ans =


[    exp(x)/a,    1/b]
[ 1/(c^2 + 1), 1i/d^2]

实例

时域函数f(t) = 2e^(-3t)+3sin2t-2cost，转化为拉式变化。

clc;
clear all;
close all;
syms t 
f = 2*exp(-3*t)+3*sin(2*t)-2*cos(t);
G =laplace(f)
t = 0:0.1:10;
f = 2*exp(-3.*t)+3*sin(2.*t)-2*cos(t);
figure;
plot(t,f,'b-');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');

运行结果

G =

2/(s + 3) - (2*s)/(s^2 + 1) + 6/(s^2 + 4)

laplace 函数

语法

laplace(f)
laplace(f,transVar)
laplace(f,var,transVar)

描述

laplace(f)返回f的拉普拉斯变换。默认情况下，自变量为t，变换变量为s。

laplace(f,transVar)使用转换变量transVar代替s。

laplace(f,var,transVar)分别使用自变量var和转换变量transVar代替t和s。

clc;
clear all;
close all;
syms x y
f = 1/sqrt(x);
laplace(f)

运行结果

ans =


pi^(1/2)/s^(1/2)

clc;
clear all;
close all;
syms a t
f = exp(-a*t);
f1 = laplace(f)
syms a y t
f = exp(-a*t);
f2 = laplace(f,y)
f3 = laplace(f,a,y)

运行结果

f1 =


1/(a + s)




f2 =


1/(a + y)




f3 =


1/(t + y)

clc;
clear all;
close all;
syms a b c d w x y z
M = [exp(x) 1; sin(y) i*z];
vars = [w x; y z];
transVars = [a b; c d];
laplace(M,vars,transVars)

运行结果

ans =


[    exp(x)/a,    1/b]
[ 1/(c^2 + 1), 1i/d^2]

实例

时域函数f(t) = 2e^(-3t)+3sin2t-2cost，转化为拉式变化。

clc;
clear all;
close all;
syms t 
f = 2*exp(-3*t)+3*sin(2*t)-2*cos(t);
G =laplace(f)
t = 0:0.1:10;
f = 2*exp(-3.*t)+3*sin(2.*t)-2*cos(t);
figure;
plot(t,f,'b-');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');

运行结果

G =


2/(s + 3) - (2*s)/(s^2 + 1) + 6/(s^2 + 4)

laplace 函数

语法

laplace(f)
laplace(f,transVar)
laplace(f,var,transVar)

描述

laplace(f)返回f的拉普拉斯变换。默认情况下，自变量为t，变换变量为s。

laplace(f,transVar)使用转换变量transVar代替s。

laplace(f,var,transVar)分别使用自变量var和转换变量transVar代替t和s。

clc;
clear all;
close all;
syms x y
f = 1/sqrt(x);
laplace(f)

运行结果

ans =


pi^(1/2)/s^(1/2)

clc;
clear all;
close all;
syms a t
f = exp(-a*t);
f1 = laplace(f)
syms a y t
f = exp(-a*t);
f2 = laplace(f,y)
f3 = laplace(f,a,y)

运行结果

f1 =


1/(a + s)




f2 =


1/(a + y)




f3 =


1/(t + y)

clc;
clear all;
close all;
syms a b c d w x y z
M = [exp(x) 1; sin(y) i*z];
vars = [w x; y z];
transVars = [a b; c d];
laplace(M,vars,transVars)

运行结果

ans =


[    exp(x)/a,    1/b]
[ 1/(c^2 + 1), 1i/d^2]

实例

时域函数f(t) = 2e^(-3t)+3sin2t-2cost，转化为拉式变化。

clc;
clear all;
close all;
syms t 
f = 2*exp(-3*t)+3*sin(2*t)-2*cos(t);
G =laplace(f)
t = 0:0.1:10;
f = 2*exp(-3.*t)+3*sin(2.*t)-2*cos(t);
figure;
plot(t,f,'b-');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');

运行结果

G =


2/(s + 3) - (2*s)/(s^2 + 1) + 6/(s^2 + 4)

2. 反拉式变换ilaplace 函数

语法

ilaplace(F)
ilaplace(F,transVar)
ilaplace(F,var,transVar)

clc;
clear all;
close all;
syms s
Fs = (s+54)/(((s+2)^2)*(s+1));
f = ilaplace(Fs)
t = 0:0.1:10;
f1=53*exp(-t) - 53.*exp(-2*t) - 52.*t.*exp(-2*t);
figure;
plot(t,f1,'r-');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');

运行结果

f =


53*exp(-t) - 53*exp(-2*t) - 52*t*exp(-2*t)

3.parallel函数

语法

sys=parallel(sys1,sys2) 
sys=parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2) 
sys=parallel(sys1,sys2,'name')

4. series 函数 串联函数

语法

sys = series(sys1,sys2) 
sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)

实例

程序

clc;
clear all;
close all;
num1=1;
den1=[1 1];
sys1=tf(num1,den1);
num2=1;
den2=[3 4 1];
sys2=tf(num2,den2);
G1 = parallel(sys1,sys2);
num3 = 1;
den3 = [1 0];
G2 = tf(num3,den3);
disp('系统的开环传递函数')
G = series(G1,G2)
disp('系统的闭环传递函数')
Gs = feedback(G,1)
num = [3 5 2];
den = [3 7 8 6 2];
disp('零极点增益模型')
[z,p,K] = tf2zp(num,den)
figure;
pzmap(G,'b');

运行结果

系统的开环传递函数
G =
 
       3 s^2 + 5 s + 2
  -------------------------
  3 s^4 + 7 s^3 + 5 s^2 + s
 
Continuous-time transfer function.
系统的闭环传递函数

Gs =
 
          3 s^2 + 5 s + 2
  -------------------------------
  3 s^4 + 7 s^3 + 8 s^2 + 6 s + 2
 
Continuous-time transfer function.
零极点增益模型
z =
   -1.0000
   -0.6667

p =
  -0.2942 + 0.8991i
  -0.2942 - 0.8991i
  -1.0000 + 0.0000i
  -0.7449 + 0.0000i

K =
     1

5.输入一个带时延的传递函数

程序

clc;
clear all;
close all;
num = [3 5 2];
den = [3 7 8 6 2];
time = 5;
disp('传递函数')
G = tf(num,den)
disp('带时延的传递函数');
Gt=tf(num,den,'ioDelay',time)
figure;
subplot(2,1,1);
step(G);
grid on;
subplot(2,1,2);
step(Gt);
grid on;

运行结果

传递函数


G =
 
          3 s^2 + 5 s + 2
  -------------------------------
  3 s^4 + 7 s^3 + 8 s^2 + 6 s + 2
 
Continuous-time transfer function.


带时延的传递函数


Gt =
 
                      3 s^2 + 5 s + 2
  exp(-5*s) * -------------------------------
              3 s^4 + 7 s^3 + 8 s^2 + 6 s + 2
 
Continuous-time transfer function.

6.单位速度、单位加速度和其他任意输入响应

lsim函数：lsim函数是针对线性时不变模型，给定任意输入，得到任意输出。lsim函数表示任意输入函数的响应，连续系统对任意输入函数的响应可以利用lsim函数求取。

语法

lsim(sys,u,t)
lsim(sys,u,t,x0)
lsim(sys,u,t,x0,method)
lsim(sys1,...,sysn,u,t)
 lsim(sys1,LineSpec1,...,sysN,LineSpecN,u,t)
lsim(A,B,C,D,u,t)
 y = lsim(___)
 [y,t,x] = lsim(___)
 lsim(sys)

lsim(sys,u,t)绘制动态系统模型sys对输入历史记录(t,u)的模拟时间响应。向量t指定用于仿真的时间样本。
对于单输入系统，输入信号u是与t长度相同的向量。对于多输入系统，u是一个数组，其行数与时间
样本（length（t））一样多，而列数与sys的输入一样多。
lsim(sys,u,t,x0)当sys是状态空间模型时，进一步指定初始状态值的向量x0。
lsim(sys,u,t,x0,method)当sys是连续时间模型时，如何在样本之间插入输入值，method即插入输入
值的方法。

实例

clc;
clear all;
close all;
num = [2 20 4];
den = [1 15 84 223 309 240 100];
disp('闭环系统传递函数:')
Gs = tf(num,den)
figure;
subplot(2,1,1);
t = 0:0.1:10;
u = t;
lsim(Gs,u,t);
subplot(2,1,2);
[y,t1] = lsim(Gs,u,t);
plot(t,u,'r-.')
hold on;
plot(t,y,'g-*');
xlabel('时间/s');
legend('输入信号u(t)','系统输出响应y(t)');
figure;
t = 0:0.1:10;
u = 1/2.*t.^2;
lsim(Gs,u,t);
figure;
u = 2*sin(2*t)+6.*t;
lsim(Gs,u,t);

7.gensig函数

gensig函数主要为lsim函数生成测试输入信号，从而测试单输入线性系统对特定信号的响应。

语法

[u,t] = gensig(type,ta)
[u,t] = gensig(type,ta,tf,ts)

说明
u为信号序列，t为时间序列
type为类型，包括：sin(正弦波)，square(方波)，pluse(周期脉冲)
ta为type类型的周期，tf为持续时间，ts为采样时间。

实例

clc;
clear all;
close all;
%如生产一个周期位6s，持续时间为36s，采样时间为0.1s的方波
[u,t] = gensig('square',6,36,0.1);
figure;
plot(t,u,'g-*')
axis([0 36 -1 1.5])


[u,t] = gensig('sin',6,36,0.1);
figure;
plot(t,u,'r-s')
axis([0 36 -1 1.5])


[u,t] = gensig('pulse',6,36,0.1);
figure;
plot(t,u,'b-.')
axis([0 36 -1 1.5])

实例

clc;
clear all;
close all;
num = [2 20 4];
den = [1 15 84 223 309 240 100];
disp('闭环系统传递函数:')
Gs = tf(num,den)
[u1,t1] = gensig('square',6,36,0.1);
figure;
subplot(3,1,1)
lsim(Gs,u1,t1);
subplot(3,1,2)
[u2,t2] = gensig('sin',6,36,0.1);
lsim(Gs,u2,t2);
subplot(3,1,3)
[u3,t3] = gensig('pulse',6,36,0.1);
lsim(Gs,u3,t3);
A = [-3 -1.5; 5 0];
B = [1; 0];
C = [0.5 1.5];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);
figure;
[u,t] = gensig("square",10,20);
lsim(sys,u,t)
grid on

参考内容

[1] 知乎作者永不止步的文章《Matlab中lsim函数使用》文章链接：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/518506593

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作 者 | 郭志龙
编 辑 | 郭志龙
校 对 | 郭志龙