圆柱滚子轴承接触分析方法对比

宁诗哲 屈福政 张春光

0 引言
止推圆柱滚动轴承因其承载能力强的特点，在旋转类机械中得到了广泛应用，而其承载能力、变形与刚度等问题又与轴承的受力状态密切相关，因此, 轴承受力分析成为轴承研究的基础[1]，尤其是接触情况、接触半宽、弹性趋近量等参数是研究并设计滚动轴承的关键。 早在100 多年前，Hertz 即对点接触和线接触的弹性接触问题给出了理论解[2]。20 世纪60 年代后，随着计算机的普及，出现了更多的研究方法。Harris[3] 曾采用切片法对载荷作用下接触应力的分布进行研究。王大力等[4] 采用有限元法对球轴承接触问题进行分析。本文对现有几种计算圆柱滚子轴承分析接触情况的方法进行描述，并通过实例计算，得到不同方法的各自优缺点及适用范围。

1 接触应力计算方法
1.1 Hertz 接触理论
对于弹性体的接触问题令人满意的分析，最早是由Hertz 得到的。分析中Hertz 采用了如下假设：1）接触物体只产生弹性变形，并服从虎克定律；2）负载垂直于接触表面，即不计及接触物体之间的摩擦力；3）接触面的尺寸与接触物体表面相比很小。通过分析得到了线接触下的接触半宽和最大接触应力的公式，而且接触应力在接触半宽上呈椭圆形分布，见图1。

图 1 Hertz 接触模型示意图

式中：a Ω 为接触半宽， F 为轴向载荷， lt 为有效接触长度， R 为滚动体半径，E ＇为材料参数，v 1、E 1 为滚动体的泊松比和弹性模量， v 2、E 2 为支撑架的泊松比和弹性模量。 在满足Hertz 接触的假定下，计算出接触半宽和最大接触应力。随着载荷的增大、接触长度的减小，接触半宽和最大接触应力都会增大。而滚动体的半径越大，接触半宽越大，最大接触应力越小。

1.2 基于弹性力学和影响系数法的数值计算方法
根据弹性力学可以得到滚动体与滚道之间的力平衡方程和变形协调方程。式（1）可以很好地表达接触模型，但在应用到滚动轴承情况时，该式并没有解析解。因此，要用数值方法进行求解。目前关于滚动体接触计算方法包括切片法和影响系数法，相比于切片法，影响系数法考虑了接触边缘效应的影响，因此，更接近实际的接触情况，也更加精确，文中采用影响系数法。

式中：P （x,y ）为接触应力分布，z （x,y ）为2 接触表面间的初始距离， F 为轴向载荷， δ 为弹性趋近量；S 为载荷作用下的接触区域，E ＇为材料参数。

式（3）进行数值求解计算时，很少事先知道接触区域的具体尺寸。因此，首先可以用Hertz 接触理论来预估接触区域大小。而且，应选得足够大初始接触区域，以便包含整个实际的接触区域。考虑到接触边界是关于接触线对称的，因此将半接触区域划分为M×N 个小的矩形单元，而其边长为a m 和b n，假定每个单元内的接触应力是均匀的，则式（4）可以离散为式（5）。

式中：Pj 为第j 块单元的平均接触应力； xk ,yk 为第k 单元的中心横、纵坐标，δ (xk , yk ) 为第k 块单元的弹性趋近量， z (xk , yk ) 为第k 块单元的初始距离，Kkj为影响系数矩阵元素，其物理意义是Pj 所引起的第k（1 ≤k ≤M×N）块单元中心处的变形，其表达式为

其中：

通过求解不同单元上的接触应力，即可确定整个接触区域的接触情况。在计算中，在靠近边缘处可能会有负的接触应力，需要将这些网格去掉，并重新划分，重新计算，直到最终接触区域和应力收敛。最后还要验算接触应力与外载荷的平衡是否满足精度要求。计算流程图见图2。

图 2 数值计算流程图

用Matlab 计算了实验模型，接触应力和接触区域见图3。从结果发现：
1）沿接触宽度方向，应力分布为椭圆型，中间接触应力最大；
2）沿接触长度方向，应力分布呈马鞍状，中间基本持平，靠近边缘升高，有边缘效应。

图 3 Matlab 计算结果三维图

1.3 光弹实验法
在众多的实验方法中，光弹实验法是迄今为止能测量三维物体内部任一点应力的唯一方法。光弹实验的基本原理是利用某些高分子材料的暂时双折射效应。用实验材料制成与实物相似的模型，并施加相似的载荷，在特定的光场中进行观察，分析模型出现的干涉条纹，即可得到模型内各点的应力大小和方向。光弹实验一般要与相似原理共同配合使用，对于结构复杂的滚动轴承，进行等尺寸的光弹实验很不方便，且重点在进行理论的计算与验证，所以用近似的圆盘来
进行实验。实验中使用PG20 型偏光弹性仪。使用砝码，并通过1:10 的杠杆放大进行加载。实验中从10 ～ 80 kg做了8 组，载荷越大，应力越大，分布就越明显，越便于观察与分析。见图4。光弹材料的光力学性质见表1。

图 4 实验所用模型及实验装置

光弹条纹图中包含等差线（又称等色线）和等倾线2 个重要的物理量。等差线表达主应力差大小的信息；而等倾线表达主应力的方向。如何通过实验中得到的光弹性条纹来计算应力的具体数值，一直是整个光弹实验的重点。本实验通过数字光弹法来进行实验数据的采集和处理，就是通过适当地旋转偏振光仪系统的某些光学元件来达到引入已知相位差的目的，补充足够的方程来求解未知的相位信息。 随着载荷的增加模型等色线条纹逐渐增加，在加载位置最为明显，见图5、图6。此处条纹过于密集，无法准确的去包裹，因此，光弹实验无法得到接触区域的应力信息，但可以得到平面内3 个应力（2 个方向的正应力，平面内的切应力）分布。但是数值对比不够直观，因此在实验模型范围内，选择了4 条水平特征线（D/8、D/4、3D/4、7D/8），取得在特征线上的点的3 个应力。见图7。

图5 典型等色线条纹图（70 kg，80 kg）

图 6 典型等倾线条纹图（0°,45°）

图 7 应力沿特征线（D /4、D /8）的分布

在水平特征线上，应力分布连续，正应力（σx、σy）沿着加载轴线左右对称分布，剪应（τxy）沿着加载轴线左右反对称分布。而且随着载荷的不断增大，应力数值也在不断增大。其中σy 增加最快，曲线变化最明显。越靠近接触位置，接触应力越大。
1.4 有限元仿真
随着计算机技术的发展，有限元方法可以很好地解决传统方法和数值计算法所解决不了的问题。而且随着相关软件的不断发展，其所模拟的情况以及计算的结果也越来越精确。它对于接触问题的模拟并不是基于Hertz 接触公式，而是通过将整个模型划分为有限个足够小的单元，并通过刚度矩阵以及边界条件，构建方程组，这些方程组的解即是单元上节点的位移，而通过这
些基本解可以得到接触边缘的应力以及模型内部的应力分布。对于接触问题，一方面接触区域的大小、相互位置和接触状态不仅事先是未知的，而且随着求解过程是不断变化的；另一方面，接触过程要满足3 个条件：接触物体不可相互侵入、接触力的法向分量只能是压力以及切向接触的摩擦条件具有强烈的非线性。ANSYS 通过对不同的关键选项和实常数进行控制，可以很好模拟接触状况。即通过Ansys 软件来模拟实验模型的接触情况。
接触区域要进行网格细化，网格尺寸要小于接触半宽的一半，其他部分可适当放大网格，以减小计算量，提高计算效率。上盖板加竖直向下的载荷，下盖板固定，轴承竖直方向对称面的节点要加约束，限制其向两侧移动。模型刚性面选为目标面，而轴承表面选为接触面。经验明，本例中罚刚度FKN 选为1.5 比较合适。为方便与光弹实验法做比较，得到模型中与光弹实验特征
线位置取得节点3 个应力数值。见图8。

图 8 有限元法应力沿特征线（D /4、D /8）的分布

同一位置3 个应力数值在趋势上与实验结果完全相同。而数值上，实验结果在x 方向正应力和xoy 面的剪切应力偏大，y 向正应力偏小，但是误差很小。提取接触位置的最大接触应力，数值方法为44 ～ 52 MPa（考虑到边缘效应），有限元法为51 ～ 64 MPa。根据最小势能原理，同一模型在同一种工况下，应力分布应该只有一种。由此可以间接验证基于Hertz 公式的数值解法的正确性。它可以模拟各种工程实际中遇到的复杂结构和不同载荷下的接触情况。

2 不同方法对比
Heatz 理论公式比较简单，但是因为假定在实际中很难实现，而且在较复杂的情况下，比如偏载就无法应用。但在较简单的工况下，计算精确度很高。数值方法基于弹性力学和影响系数法，相关的研究已有很多。通过变换网格可以提高精度，通过变化部分参数还可以计算偏载，研究修型。但是影响系数法是基于良好支撑以及支撑不变形的基础上，即只有滚动体发生弹性变形，这在一定程度上影响了精度。有限元法是目前最好的方法，而且随着软件的不断进步，通过不同参数的设置，模拟越来越准确。但是软件本身需要操作人员有一定的理论基础与软件操作能力。通过计算发现Hertz 理论解、基于影响系数法的数值方法和有限元法得到的最大接触
应力不同。Hertz 理论是48 MPa，数值方法是44 MPa，有限元法为51 MPa。这是因为3 种方法提取的应力位置有差别，数值方法计算出的结果是单元的平均接触应力，有限元法得到的是节点接触应力。因为实际情况中，越接近对称中心，接触应力越大，所以有限元法会比数值法偏大。
光弹实验法是最准确还原工况的，但是实验本身成本较高。而且光学实验环境也比较苛刻，后期的图像处理也比较高的专业水平。所以，一般会为关键部分或代表性的结构进行实验验证。实验加载无法做到真正的点接触，会小部分的线接触，而且模型本身的残余应力也无法完全消除。这会导致实验结果比正常的理论值略大。

3 结论
1）Hertz 理论比较简单，可以用于初值的估算，但是不能用于较复杂的情况（比如偏载）。
2）基于影响系数法的数值方法可以得到较精确的解，还可以分析偏载的工况，也可以用于修形，但是必须假定变形只发生在滚动体上，这显然会带来误差。
3）光弹实验法可以最直观的得到滚动轴承接触的内部应力信息，而且配合相似原理，可以得到原模型的应力信息，但是实验费用较高，要求的实验条件也较高。
4）有限元法可以模拟各种接触情况，而且精度也很高，是目前为止最好的方法。但是，需要操作人员一定的理论能力以及软件操作水平，还有对复杂的接触问题，会消耗较大的计算资源。