MATLAB基础学习之数值积分(一次函数定积分)

moboyou 2025-04-25 13:11 14 浏览

数值积分的实现：

（一）比较quad与quadl函数的差别

基于自适应辛普森方法：[I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)

基于自适应Gauss-Lobatto方法：[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)

其中，filename是被积函数名；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限[a,b]必须是有限的，不能为无穷大(inf)；tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6；trace控制是否展现积分过程，若取非0展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0；返回参数I即定积分的值，n为被积函数的调用次数。

例：分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较被积函数的调用次数。

在命令行输入如下指令：

>> format long

>> f=@(x)4./(1+x.^2);

>> [I,n]=quad(f,0,1,1e-8)

I =

3.141592653733437

n =

>> [I,n]=quadl(f,0,1,1e-8)

I =

3.141592653589806

n =

可见，quadl的计算精度要高，而且计算次数更少。

（二）基于全局自适应积分方法

l=integral(filename,a,b)

其中，l是计算得到的积分；filename是被积函数；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限可以为无穷大。

例：求定积分

首先定义函数：

function f = fe(x )

f=1./(x.*sqrt(1-log(x).^2));

end

然后在命令窗口输入

>> I=integral(@fe,1,exp(1))

I =

1.5708

（三）基于自适应高斯-克兰罗德方法

[I,err]=quadgk(filename,a,b)

其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是无穷大（-inf或inf），也可以是复数。如果积分上下限是复数，则quadgk函数在复平面上求积分。

（四）trapz函数

trapz函数采用梯形积分法则，积分的近似值为：

其中hi=xi+1-xi。

可用以下语句实现：

sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)

例：设x=1:6，y=[6,8,11,7,5,2]，用trapz函数计算定积分。

在M文件中编辑如下代码：

x=1:6;

y=[6,8,11,7,5,2];

plot(x,y,'-ko')

grid on

axis([1,6,0,11])

I1=trapz(x,y)

I2=sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)

得到结果：

I1 = 35

I2 = 35

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数值积分的实现：

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