MATLAB的dsolve函数求微分方程的符号解

MATLAB 求解常微分方程的函数是dsolve()。应用此函数可以求得常微分方程(组)的通解，以及给定边界条件(或初始条件)后的特解。

S=dsolve(eqn)
S=dsolve(eqn,cond)
S=dsolve(eqn,cond,Name,Value)
eqn1,eqn2,…为给定的常微分方程(组)。
② Value为给定的常微分方程(组)的指定符号自变量，默认变量为t。
③ cond1,cond2,…为给定的常微分方程(组)给定的边界条件(或初始条件)。
初始和边界条件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f 等等，
④ r 为求符号解(即解析解)，若边界条件少于方程(组)的阶数，则返回的结果r 中会出现任意
常数C1，C2，…
⑤ 在微分方程(组)的表达式equ 中，大写字母D 表示对自变量(设为x)的微分算子：
D=d/dx，D2=d2/d2x，...，微分算子D 后面的字母则表示为因变量，即待求解的未知函数。
⑥ dsolve 命令最多可以接受12 个输入参量(包括方程组与定解条件个数，当然也可以做到输入的
方程个数多于12 个，只要将多个方程置于一字符串内即可)。
⑦ 若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。
⑧ 若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym 对象。
这时，用户可以用命令ode23 或ode45 求解方程组的数值解。

1.求解常微分方程的通解

实例

程序

clc;
clear all;
close all;
% 在求通解问题
syms y(x)
y=dsolve(x^2+y+(x-2*y)*diff(y)==0)

运行结果

y =
 
 x/2 + ((4*x^3)/3 + x^2 + C3)^(1/2)/2
 x/2 - ((4*x^3)/3 + x^2 + C3)^(1/2)/2

2.求解常微分方程的初边值问题

实例

程序

clc;
clear all;
close all;
syms y(x)% 定义符号变量
dy=diff(y);%一阶导数
d2y=diff(y,2);%二阶导数，用于初值或边值条件的赋值
y=dsolve(diff(y,3)-diff(y,2)==x,y(1)==8,dy(1)==7,d2y(2)==4)
y=simplify(y) %把计算结果化解

运行结果

y =
 
(17*x)/2 + 7*exp(x - 2) - 7*x*exp(-1) - x^2/2 - x^3/6 + 1/6

3.求解常微分方程组

实例

clc;
clear all;
close all;
syms f(x) g(x)
df=diff(f);%用于初值或边值条件的赋值
[f1,g1]=dsolve(diff(f,2)+3*g==sin(x),diff(g)+diff(f)==cos(x))%求通解
f1=simplify(f1),g1=simplify(g1)

[f2,g2]=dsolve(diff(f,2)+3*g==sin(x),diff(g)+diff(f)==cos(x),df(2)==0,f(3)==3,g(5)==1)
f2=simplify(f2),g2=simplify(g2)

运行结果

f1 =
C3 + sin(x)/2 + (3^(1/2)*C4*exp(3^(1/2)*x))/3 - (3^(1/2)*C5*exp(-3^(1/2)*x))/3
g1 =
sin(x)/2 - (3^(1/2)*C4*exp(3^(1/2)*x))/3 + (3^(1/2)*C5*exp(-3^(1/2)*x))/3
f2 =
(18*exp(3^(1/2)*(x + 2)) - 6*exp(3^(1/2)*(2*x + 3)) - 6*exp(7*3^(1/2)) + 6*exp(3^(1/2)*(x + 4)) + 6*exp(3^(1/2)*(x + 6)) + 18*exp(3^(1/2)*(x + 8)) + 3*exp(3^(1/2)*(2*x + 3))*sin(5) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 2))*sin(x) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 8))*sin(x) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 2))*sin(3) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 4))*sin(5) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 6))*sin(5) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 8))*sin(3) + 3*exp(7*3^(1/2))*sin(5) + 3^(1/2)*cos(2)*exp(3^(1/2)*(x + 3)) - 3^(1/2)*cos(2)*exp(3^(1/2)*(x + 7)) + 3^(1/2)*cos(2)*exp(10*3^(1/2)) - 3^(1/2)*cos(2)*exp(2*3^(1/2)*x))/(6*(exp(3^(1/2)*(x + 2)) + exp(3^(1/2)*(x + 8))))
g2 =
 
(6*exp(7*3^(1/2)) + 6*exp(3^(1/2)*(2*x + 3)) - 3*exp(3^(1/2)*(2*x + 3))*sin(5) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 2))*sin(x) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 8))*sin(x) - 3*exp(7*3^(1/2))*sin(5) - 3^(1/2)*cos(2)*exp(10*3^(1/2)) + 3^(1/2)*cos(2)*exp(2*3^(1/2)*x))/(6*(exp(3^(1/2)*(x + 2)) + exp(3^(1/2)*(x + 8))))

4.求解线性常微分方程组

一阶齐次线性微分方程组

实例

程序

clc;
clear all;
close all;

syms x(t) y(t) z(t)
X=[x;y;z]% 定义符号向量
A=[2 1 3;0 2 -1;0 0 2];
B=[1 2 1]';
[x, y, z]=dsolve(diff(X)==A*X,X(0)==B)

运行结果

 
X(t) =
 
 x(t)
 y(t)
 z(t)
 
 
x =
 
exp(2*t) + 5*t*exp(2*t) - (t^2*exp(2*t))/2
 
 
y =
 
2*exp(2*t) - t*exp(2*t)
 
 
z =
 
exp(2*t)

非齐次线性方程组

实例

程序

clc;
clear all;
close all;
syms x(t) y(t) z(t)
X=[x;y;z]% 定义符号向量
A=[1 0 0;2 1 -1;3 2 1];
B=[0;0;exp(t)*cos(2*t)];
x0=[0;1;1];%初值条件
X=dsolve(diff(X)==A*X+B,X(0)==x0)%求符号解
X=simplify([X.x;X.y;X.z])%显示解的各个分量
pretty(X) %分数线居中的显示方式

运行结果

 
X(t) =
 
 x(t)
 y(t)
 z(t)
 

X = 

  包含以下字段的 struct:

    y: [1×1 sym]
    x: [1×1 sym]
    z: [1×1 sym]

 
X =
 
                                                                   0
     (exp(t)*(cos(2*t) + cos(2^(1/2)*t) - 2^(1/2)*sin(2^(1/2)*t)))/2
 (exp(t)*(2*sin(2*t) + 2*cos(2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*sin(2^(1/2)*t)))/2
 
/                                0                                \
|                                                                 |
|   exp(t) (cos(2 t) + cos(sqrt(2) t) - sqrt(2) sin(sqrt(2) t))   |
|   -----------------------------------------------------------   |
|                                2                                |
|                                                                 |
| exp(t) (sin(2 t) 2 + 2 cos(sqrt(2) t) + sqrt(2) sin(sqrt(2) t)) |
| --------------------------------------------------------------- |
\                                2                                /

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作 者 | 郭志龙
编 辑 | 郭志龙
校 对 | 郭志龙