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多项式幂级数泰勒级数傅里叶级数如何联系起来

moboyou 2025-05-06 13:29 32 浏览

一元多项式定义如下：

上图是用一条直线和一条曲线（多项式，比如a0+a1x+a2x^2）拟合同样一组数据的效果。

上图用于解释增量与微分之间的差别。我们也可以这样理解，在点x0处，Δx很小的范围内，试图用绿色的直线（微分）替代黄色的曲线f(x)。那么，如果上图的直线换成图1中的曲线，也就是多项式，效果会不会更好一点？

从以上叙述可以看出，幂级数的定义完全可以理解为是试图用一条曲线去替代函数f(x)。

以上证明的思路就是，先假设图2中这种替代是可以的，然后再求出相应的多项式系数an，其前提条件是f(x)具有任意阶导数。

上图是拓展到复数领域的泰勒级数。

上图是傅里叶级数的基本原理图。

同样可以理解为用右边的三角函数去替代左边的f(x)。

傅里叶级数的思路同样是，先假设图3的替代方法是可行的，接下来只要把系数an,bn求出来就可以。而系数an,bn之所以能够被求出来，是因为图4中的三角函数存在着正交关系。

上图是傅里叶级数的指数形式，与泰勒级数对比，两者是不是在形式上很像？

简单来说：

1：为了替代某个函数，多项式的效果可能会比一条直线更好。

2：泰勒级数和傅里叶级数都是对某个函数的逼近方法。

3：两者的证明思路都是先假设这种替代是可行的，然后再求出相应的系数。

4：泰勒级数的思路是用一条曲线去逼近另一条曲线，而傅里叶级数是用很多条曲线的和去逼近另一条曲线。

5：泰勒级数的条件是f(x)任意阶可导，傅里叶级数则只是要求f(x)不能有第二类间断点，后者条件明显更宽松。

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