碾压牛顿力学，拉格朗日力学到底有多强大? #前沿知识

moboyou 2025-05-30 18:41 54 浏览

这个看似很简单的双摆模型实际上一点都不简单。如果你没学过拉格朗日力学，只用牛顿力学分析，那你写满三页纸都算不出两个摇摆小球的受力情况。因为牛顿力学更适用于简单的受力分析，比如单摆运动以及自由落体运动。

稍微复杂一点的双摆运动牛动力学分析起来会特别麻烦。牛动力学侧重于分析位移速度、加速度、力等矢量之间的关系，并且在受力分析时需要引入虚拟力，实现逻辑上的自治。

对于双球摆动问题，虽然只有两个小球，但每个小球都是运动的。上面小球受三个力，下面小球受两个力，一共五个力，其中有三个力都是变化的。在双摆系统中小球的起始位置稍微不同就会导致小球出现完全不同的路径。如果你用牛顿力学来分析每个小球的受力情况，那计算量将大到让你崩溃。

为了解决这一问题，意大利裔法国数学家拉格朗日另辟蹊径，他认为在分析物体受力情况压根就不需要了解每一步的细节，只需要知道物体运动的所有可能路径，然后找到其中作用量取极值的运动路径即可，这就是最小作用量原理。

早在1662年费马就提出费马原理，认为光线总是沿着时间最短的路径运动。比如在真空中光线只有沿直线运动才是用时最短的路径。在平面反射中只有反射角等于入射角，光线所需的时间才是最短的。当光进入介质时由于速度会减慢，这就导致光线尽可能在介质中少走路程，于是折射角就会通过小于入射角的形式让光线尽量少在介质中运动，从而实现路径上的最短时间。

然而牛顿却认为光线的这种最短时间路径并不适用于宏观物体的运动，所以这时候拉格朗日就难崩了。宏观物体如果不遵守类似光线的最短时间路径，那应该遵守哪一条路径？于是拉格朗日想到了用能量解释物体运动的所有路径。

我们知道物体都有能量，而能量可以拆分成两大类，一个是势能，一个是动能。物体的势能和动能总是在相互变化，而物体的不同运动路径本质上也就是动能和势能的差值的不同，这个差值就是动能减去势能，也就是拉格朗日量。

现在将一块石头运动路径的所有拉格朗日量全部列出来，这块石头从A点到B点可能会有无数个路径。如果用牛顿力学分析就需要引入很多虚拟力，但这些虚拟力并不做功，引入的虚拟力越多计算只会越麻烦。

抱着如无必要勿增实体的理念，拉格朗日力学就会摒弃复杂而繁琐的受力分析，要列出物体的运动方程只需要找到一条拉格朗日量最小的路径即可。这就有点类似费马原理中的最短时间路径。

牛顿力学一般使用的是三维坐标，其中xyz三个维度可以是任何物理量。而在拉格朗日力学中用广义坐标，其中维度用自由度代替。比如对于单摆问题就只有一个自由度，这个自由度就是摆绳与垂直方向的夹角，所以就可以用一维的坐标轴表示这个自由度。即便是双摆小球也只有两个自由度，只需用二维坐标轴表示即可。

在牛顿力学中如果要对单摆小球进行受力分析需要描述它每时每刻的运动状态。而在拉格朗日力学中会看到小球不同时刻之间的所有路径只需找到最小路径即可，这就极大的简化了对物体运动规律的描述。

拉格朗日力学的本质是绕过受力分析从能量的角度描述物体的运动。而在量子力学中微观粒子的运动轨迹是随机的，所以牛顿力学不可能对微观粒子进行受力分析，但拉格朗日力学通过能量变化的角度就能描述微观粒子的运动。所以拉格朗日力学不仅适用于经典力学也同样适用于量子力学。

所以拉格朗日力学是比牛顿力学更实用、更强大的数学工具。

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