单项式与多项式
moboyou 2025-06-02 19:52 41 浏览
本篇介绍单项式和多项式的概念，阐述多项式乘法法则。
5.2.1单项式
在上一节，我们了解到没有加减运算的整式叫做单项式。我们把单项式中的常数因数叫做这个单项式的系数（coefficient），所有变量的指数之咊叫做这个单项式的次数（degree）。
例5.2.1.1 指出下列单项式的系数和次数：
答：各式的系数和次数如下表
表5.2.1.1单项式的系数和次数
单项式 | |||||
系数 | 1 | 3 | 20 | ||
次数 | 3 | 4 | 1 | 2 | 0 |
答毕。
容易理解，单项式相乘的积仍然是单项式。计算单项式的乘法时，将系数相乘，每个变量的指数相加。计算除法，则将系数相除，每个变量的指数相减。
例5.2.1.1 计算
解：
答毕。
5.2.2多项式
不少于两个单项式的咊叫做多项式，其中的每个单项式叫做多项式的项（term），不含变量的项叫做常数项（constant term）。多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。若一个多项式各项次数相同，则叫做齐次多项式（homogeneous polynomial）。多项式中含有的变量相同，并且相同变量的指数也分别相同的项，叫做同类项（similar terms）。
根据乘法分配律，可以把同类项的系数相加，变量及指数保持不变，这样就把多项合并成了一项，我们把这一恒等变形的操作叫做合并同类项（unite like terms）。我们在用多项式表示结果时，一般都要经过合并同类项化简。
例5.2.2.1 将下列多项式合并同类项
（1）；
（2）。
解：（1）
（2）
答毕。
5.2.3 多项式的乘法
我们用表示单项式，那么
归纳为一般形式
同样地，三个多项式相乘
也就是说，单项式与多项式相乘，等于单项式与各项的乘积之咊；多项式与多项式相乘，从多项式各取一项相乘，取遍所有的项之后把每一个积相加。
例5.2.3.1计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
解：（1）（2）（3）（4）（5）步骤见图片
答毕。
例5.2.3.1中（3）（4）（5）这几个特别的多项式，一般作为公式直接运用：
（1）平方差公式(formula for the difference of square)
（2）完全平方公式(perfect square trinomial)
（3）立方咊（差）公式(formula for the sum/difference of cube)
从立方咊（差）公式联想开来，可得奇次方咊（差）公式
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