傅里叶级数物理意义的直观理解:利用傅里叶级数逼近方波信号

上篇文章将向大家介绍频谱的概念，对傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换进行了数学的推导，并解释了它们各自的物理意义。推导过程见我的上一篇文章：频谱分析——频谱概念（傅里叶变换、级数、积分及物理意义）

如下图所示的方波表达式为：

傅里叶级数表示为：

其中

首先求傅里叶系数:

即

因此，得到的傅里叶级数的表达式为：

用MATLAB绘制一下傅里叶级数的曲线

先看看傅里叶级数40次谐波逐次叠加的结果的动态展示（偶次谐波为零，为方便展示，作图时忽略偶次谐波项）

左图是n次谐波的和，右图可以清晰直观地看出各次谐波叠加逼近原始方波的过程

接下来再看看傅里叶级数100次谐波逐次叠加的结果

1000次谐波叠加

10000次谐波叠加

将10000次谐波叠加的方波边缘处放大，发现有依然是有超调现象

这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象

在时域描述一个不连续的信号时，要求信号有无穷的频率成分，但实际情况中不可能采样到无穷的频率成分，只能对一定频率范围的信号进行采样。

而对于方波这样具有跳跃间断点的信号，采样将会存在频率截断，频率截断会引起时域信号在不连续处产生“振铃效应”。吉布斯现象的产生有两个条件：(1) 对信号频谱的锐截止；(2) 原信号存在跳变点。

MATLAB代码如下：

clc,clear
f = 2; %输入方波的频率
A = 1; %输入方波的幅值
tw = 1;%持续时间，单位：秒
[t,y] = squareWave(f,A,tw);
%设置傅里叶级数的系数
a0 = A / 2;
n = 100; %谐波次数
sum = zeros(1 , length(t) );
sum = sum + a0;
% figure(2);
% plot(t,y);
% hold on
each_hm = zeros( n + 1 , 40000 );
hm = 0 : n;
for k = 1 : 2 : n
An = -( 2 * A / ( 2 * pi * k) ) * ( cos( k * pi ) - 1 );
y1 = An * sin( 2 * pi * k * t * f );
each_hm( k + 1 , : ) = y1;
sum = sum + y1;
each_hm( 1 , : ) = sum;

figure(2);
plot( t , sum );
title([ 'Sum of the first ', num2str(k) , ' harmonics'])

figure(3)
title([ 'For the first ' , num2str(k) , ' harmonics'])
plot3( t , zeros( 1 , 40000 ) , each_hm( 1 , : ) )
grid on
hold on
plot3( t , k * ones( 1 , 40000 ) , each_hm( k + 1 , : ) )
xlabel('t'); ylabel('Harmonic');

pause(0.5)
end
pause(0.5)
figure(2)
plot(t , y , '--' , 'LineWidth' , 2 );
hold on
plot( t , sum ,'LineWidth',1);
legend('Original Square Wave' , 'Fourier series approximation ')
title(['Sum of the first ' , num2str(k) , ' harmonics'])

%%方波生成代码 squareWave函数
function [t,y] = squareWave(freq,A,waveTime)
tt = waveTime;%sec
f = freq; %hz
tp = 1 / f;
fs = 20000 * f;
n1 = tp*fs;
t= 0 : 1 / fs : ( n1 - 1) / fs;
y1 = zeros(1 , n1);
y1(1 : n1 / 2) = A;
n2 = tt * fs
nw = tt / tp;
t2=0 : 1 / fs : ( n2 - 1 ) / fs;
y2 = zeros(1 , n2);
y2 = repmat(y1 , 1 , nw);
y = y2;
t = t2;
end

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