基于APSO 算法的电动挖掘机受电臂轻量化设计

卢宝鹏 柯 坚 杨志军 史凌波 罗杰赢
西南交通大学机械工程学院 成都 610030

摘 要：受电臂是挖掘机电动化中重要的结构，利用受电臂结构的外形尺寸作为优化设计变量，将强度以及刚度作为约束条件，提出一种将自适应粒子群算法应用于工程机械的数学建模方法，利用Matlab 程序语言实现了自适应粒子群算法，并通过该算法对建立的数学模型进行迭代计算，得出最优的结构尺寸参数，再利用Ansys Workbench对改进前后的结构进行了有限元仿真与模态分析。通过优化，受电臂结构在保证强度与刚度的前提下，其总质量减轻了18.398%。当外界激振频率不高于400 Hz 时，优化后结构减轻的质量几乎不影响其动态性能。改进后的结
构危险截面竖直方向上应力有所减小，水平方向上的应力有所增加，最大增幅2.893 MPa，但增加后仍在安全许用范围内。

关键词：电动挖掘机；受电臂；模态分析；轻量化；设计

中图分类号： TH122：U415.51+1 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）01-0077-07

迭代求解，实现了吊杆索力和刚度的精确识别。在此，首先介绍了自适应粒子群算法的原理，并将该原理引入到工程机械的结构优化设计中，以结构的总质量为目标函数，在强度、刚度的约束条件下建立了受电臂结构的数学模型，利用Matlab 程序语言实现了APSO 算法，通过APSO 算法对数学模型进行了计算求解，最后通过Ansys 软件进行模型的有限元与模态分析，对比优化前后的质量和应力等情况。

图1 移动供电式电动挖掘机

1 自适应粒子群算法
粒子群优化算法[8]（PSO）是基于鸟群觅食行为而提出的一种进化算法。具有易实现、收敛速度快、参数设置少等优点。自适应粒子群优化算法[9]（APSO）是在标准粒子群算法基础上引入随机惯性权重与惩罚函数，通过惩罚函数来规避遇到的错误解，以达到快速的收敛性。

粒子群算法的基本原理是根据要解决的实际问题构造一个d 维搜索空间，空间中的每个粒子都有相对应的位置与速度，记第i 个粒子的位置为Xi ＝ (xi1，xi2，…，xid)T，速度为Vi ＝ (vi1，vi2，…，vid)T，通过计算适应度函数来得出粒子的最优解。第i 个粒子最优位置叫做个体极值，记作Pbest ＝ (pi1，pi2，…，pid)T。整个粒子群搜索到的最优位置叫做全局极值，将其记作Gbest＝ (pg1，pg2，…，pgd)T。粒子群算法的核心是搜索空间中粒子的位置与速度的更新，可表示为[10]

式中：c1、c2 为学习因子，r1，r2 为0 ～ 1 均匀分布的随机数，ω 为惯性权重系数，pij 为个体极值，pgj 为全局极值，ωvij(t) 为粒子当前的速度，c1r1[pij - xij(t)] 为粒子会受自身的认知模式的影响，c2r2[pgj - xij(t)] 反映了群体信息的影响。

粒子群算法在解决优化问题时，首先初始化一组随机粒子，即赋予粒子随机位移与随机速度, 然后进行迭代计算，在最大速度Vmax ＝ (vmax1，vmax1，…，vmaxd)T 以及搜索边界的限制下，通过pi 和pg 的引导，依据粒子更新公式进行下一次飞行搜索，直到找到适应度函数的最优解。

2 受电臂的轻量化设计
受电臂结构由安装底架、支架、旋转支撑、转杆等部分组成。受电臂结构轻量化设计的关键是转杆部分，转杆所受拉力与电源车端拉力有关。挖掘机在实际工作中距离电源车一般在25 m 以内，故选用25 m 时的最大拉力作为受电臂的载荷。通过实际测量得出最大拉力为850 kg，为使强度分析中留有安全裕度，选定拉力T ＝1 000 kg 进行设计计算。

2.1 目标函数
轻量化设计的目标是保证足够强度和刚度满足要求的条件下，质量最轻，成本最低。以受电臂转杆结构的质量作为目标函数，密度用ρ 表示，则有目标函数式

式中：Vj 为转杆的第j 块钢板体积，n 为组成转杆的钢板数量。

2.2 设计变量
为实现目标函数的计算，将转杆的整体尺寸作为设计变量，记作X ＝ (x1，x2，…，xd)T。各个变量表示如图2 所示。引入变量后，结构的面积可表示为

式中：Aup 为转杆上幅板表面积，x7Asi 为侧板表面积。结构的体积可表示为

式中：Vc 为轴套处体积，Vup 为上幅板体积，Vsi 为侧板体积。
由式（4）可得

式中：V 为转杆总体积。

由式（2）和式（5）可得目标函数为

图2 设计变量与尺寸的关系

2.3 约束条件
APSO 算法在迭代计算过程中需要定义变量的边界与约束条件，各变量的边界条件按照底架、挖掘机机架的安装条件来确定，其取值范围为Xmax ＝ (160，100，80，400，130，50，10，1 800，110，1 400，190，190)T，Xmin ＝ (120，80，50，300，100，30，8，1 770，80，1
250，150，150)T。

约束条件的添加需要使强度与刚度满足材料的许用条件。强度校核通常以正应力σ ＜ [σ]，剪应力τ ＜ [τ]来保证结构的强度要求。以挠度yc 与转角θc 的( yc /l )＜ [w] 和θc ＜ [θ] 来保证结构的刚度。最大弯矩所在截面为危险截面，该截面正应力与剪应力条件为[11]

式中：σ 为截面正应力，A 为截面面积，M 为危险截面处的弯矩，ymax 为截面上点与中性轴的最大距离，IZ 为截面惯性矩，τ 为截面处剪应力，FS 为剪力，[σ]、[τ]分别为许用正应力与许用剪应力。

以刚度条件进行约束时，挠度与转角如式⑻所示。

则刚度条件为

式中：q 为均布载荷，F 为所受的集中力，E 为弹性模量，l 为转杆长度，[ w/l ] 为跨长之比。
挖掘机在工作时按照转杆实际受力情况，分别从水平方向与垂直方向来分析。

1） 垂直方向
图3a 为转杆的受力简化模型，图3b 为截面1 的形状尺寸，图3c 为截面2 处形状与尺寸。转杆材料为Q235 钢，其弹性模量为E ＝ 200 GPa，所受拉力T ＝10 000 N，且与水平面夹角θ ＝ 15°，[σ] ＝ 215 MPa，[τ]＝ 125 MPa，[ w/l ] ＝ 1/500。将设计变量X 代入式⑺以及式⑻中可得到式⑼。综合式⑺～式⑼有截面1 的约束条件式⑽，截面2 处的约束条件式⑾。

图3 截面1 处变量与尺寸的关系

2） 水平方向
挖掘机在水平方向旋转时转杆可分为两种工况。其中，工况一为旋转极限状态，如图4 所示，转杆支座上的限位挡板与转杆完全接触，转杆与电缆在水平方向上呈直角状态，通过受力分析可得出A、B 点的支座反力FA、FB，FB 的方向与竖直方向呈β 夹角且有

根据受力情况，支座反力的表达式为

带入设计变量后, 截面1 处各变量表达式为

将式⒀代入式⑺，则有强度条件式为

式中：Tcosθ 为电源车端拉力的水平分力，MH1 为水平方向工况一的截面1 处弯矩，FH1 为水平方向工况一的截面1 处剪力，AH 为该截面面积，IH 截面惯性矩，yH 为截面上点与中性轴的最大距离, σH1、τH1 分别为正应力与剪应力。

图4 水平状态下工况一的受力情况

工况二是在挖掘机突然旋转时，支座限位挡板对转杆存在瞬间的冲击载荷，在限位挡板与转杆接触瞬间受力，如图5 所示。

图5水平状态下工况二的受力情况

冲击载荷的计算[12] 根据能量守恒定律，冲击的动能Ek 会转化为杆件弹性应变能Vε，即

式中：

表示静位移，Fd 为冲击载荷，v 为

冲击速度，即挖掘机回转速度，M(x) 表示弯矩方程，E弹性模量，I 为截面惯性矩，L 为转杆长度。

挖掘机的回转速度为11rpm，即n ＝ 0.183 r/s，则ω ＝ 2πn，v ＝ ωr，r ＝ 345.2 mm，以原始尺寸为依据，则有LH ＝ 1 701 mm，v ＝ 2.5 m/s，通过式⒄计算得出Fd ＝ 5 258.84 N。

将式⒅代入式⑺中，则有强度条件式为

3 APSO 求解
根据以上分析得出的目标函数与各种情况以及工况下约束条件的综合表达式为

设定粒子群算法的最大迭代次数为100 次，种群规模设为m ＝ 50，c1 ＝ c2 ＝ 2，随机性衰减因子为0.2，收敛速度为0.5，ωmax ＝ 0.95。并进行多次求解计算，适应度曲线如图6 示。

图6 APSO 计算适应度曲线

1）设计变量前后对比
表1 为设计变量优化前后的取值，优化前为结构初始实际尺寸，优化后通过APSO 算法求解出最优解。

2）Ansys 仿真结果
利用优化后的尺寸重新建模，导入到Ansys 中进行模态分析。模态分析是确定机械结构固有频率和振型等动态特性的有效方法[13，14]。表2 是转杆结构优化前后10 阶固有频率。图7 为优化前后第1、6 阶的模态振型图。其中图7a 和图7b 分别为优化前后的第1 阶振型图，优化前最大变形量为8.466 mm，轻量化设计后最大变形量为9.57 mm，变形量略有增大；图7c 和图7d 为优化前后第6 阶振型图，最大变形量比优化前减小2.597 7mm，表明结构在发生该阶次的共振时产生的变形量减小，其他阶次的固有频率在优化前后对比如图8 所示。

图7 优化前后模态振型图

由图8 可以看出，前6 阶固有频率在优化前后变化较小，相差在10.71% 以内，从第6 阶开始，轻量化后的模型固有频率较优化前增幅变大，当外界激振频率不超过400 Hz 时，轻量化对结构固有频率产生的影响很小，而轻量化前后转杆的总质量从80.44kg 减小到65.64kg，相比减小18.398%。

图8 优化先后固有频率

图9 为转杆轻量化设计前后的等效应力分布云图，其最大等效应力集中在转筒与上幅板的焊接处，优化后的结构应力最大为113.29 MPa，相比轻量化前虽增大了10.39 MPa，但其增大后在安全许用范围内。

图9 优化前后结构的等效应力分布

3）危险截面处的应力情况
在Ansys 后处理中，将图3 中截面1 处的3 个方向上的应力提取出来后如图10 所示。

图10 优化前后截面应力

图10a 为初始结构截面X 方向上的拉应力与压应力分布，其正值代表拉应力，负数表示压应力数值，最大拉、压应力分别集中在截面的左下与右上幅板处，这是因为转杆受到水平冲击力与电源车拉力的综合力而导致一侧受拉，另一侧受压。图10b 和图10c 分别为Y、Z 方向上的应力分布图，Z 方向上最大拉应力9.105MPa，最大压应力9.281 MPa。图10d、图10e、图10f分别为轻量化设计后截面3 个方向上的应力分布图，其X 方向上最大拉应力相比优化前减小了2.58%，压应力增大了1.669%，Y 方向拉压应力都有所增大，其最大增幅为35.76%。Z 方向上最大拉应力2.238 3 MPa，最大压应力1.841 5 MPa，相比优化前分别减小75.42%、80.158%。具体变化如图11 所示。

图11 截面三个方向应力变化情况

由图11 可以看出，轻量化前后3 个方向上的拉、压应力有增有减，因为在轻量化设计过程中，其截面的相关尺寸发生了一定的变化，例如x1 的尺寸增大，使截面1 处Z 方向上的应力减小而Y 方向上的应力增大。优化后应力增幅最大的是Y 方向的拉应力，其增大35.76%，其增加后应力值为10.982 MPa，远小于安全许用应力。在Z 方向即竖直方向上拉、压应力都大幅降低。故在质量减轻18.398% 的前提下，对于8.089 MPa基础上35.76% 的应力增幅是可以接受的。

4 结论
1）结合粒子群算法和有限元分析是一种重要的结构优化方法，本文主要针对电动液压挖掘机的受电臂结构提出了一种基于自适应粒子群算法在工程机械中对结构的数学建模方法，并利用该算法对模型进行轻量化设计，在强度以及刚度的约束下，通过对设计变量以及目标函数的求解，得出改进结构的形状以及尺寸。

2）当外界激振频率不高于400 Hz 时，与初始结构相比，优化后的结构其质量的减轻几乎不影响结构的动态性能。而当外界激振频率超过400 Hz 时，优化后模型质量的减轻对动态性能会产生一定程度的影响。

3）与原始结构相比，轻量化设计后的结构最大等效应力增加了10.39 MPa，其增加后为113.29 MPa，危险截面X 方向拉应力减小了2.58%，压应力增大1.669%，Z 方向的拉、压应力分别减小了73.83%，67.3%，Y方向上拉、压应力都有所增大，但增大后仍在安全许用范围内。优化前后结构的总质量从80.44kg 减小到65.64kg，相对减小了18.398%。因此，基于APSO 算法的轻量化设计可以为以后电动液压挖掘机受电臂结构的优化设计提供一定的参考依据。

参考文献
[1] 孙宽，于爱玲. 杭州蓝力: 抛弃发动机的新电动方案[J].工程机械文摘，2016(6)：65-67.
[2] 卫良保，苏洋，韩斌. 一种新粒子群优化算法及其实际工程应用[J]. 起重运输机械，2016(4)：32-35.
[3] 叶青林，陶元芳，邵南曦，等. 粒子群算法结合惩罚函数用于桥式起重机主梁优化[J]. 起重运输机械，2015(4)：46-49.
[4] 刘汉文. 基于改进粒子群算法的动车组车体结构优化设计研究[D]. 北京：北京交通大学，2017.
[5] 范政武，王铁，王永红，等. 基于改进多目标粒子群算法的商用车悬架系统优化[J]. 振动与冲击，2018，37(15)：216-224.
[6] 王钦普，杜思宇，李亮，等. 基于粒子群算法的插电式混合动力客车实时策略[J ].机械工程学报，2017，53(4)：77-84.
[7] 李睿，李晓章，郑祥隆，等. 粒子群算法在基于频率的两端固结吊杆索力识别中的应用[J]. 振动与冲击，2018，37(9)：196-201.
[8] Kennedy J，Eberhart R.Particle swarm optimization[C].Proceedings of the IEEE International Conference on Neural Networks， Perth: IEEE，1995：1 942-1 948.
[9] 高飞.MATLAB 智能算法超级学习手册[M]. 北京：人民邮电出版社，2014.
[10] 温正. 精通MATLAB 智能算法[M]. 北京：清华大学出版社，2015.
[11] 宋祥玲. 工程力学[M]. 北京：北京理工大学出版社，2017.
[12] 洪翔，姚松，郭星星. 轴向预压金属圆管受轴向冲击的吸能特性研究[J]. 机械强度，2018，40(2)：384-391.
[13] 杨维平，侯亮，蔡惠坤，等. 基于模态分析的挖掘机发动机罩结构优化[J]. 机械强度，2016，38(3)：537-542.
[14] 黄小天，李明，孙炜海，等. 基于有限元法的试验台电动机支座模态分析与结构改进[J]. 新技术新工艺，2018(11)：52-56.