理解令人惊叹的数学对象—狄拉克δ函数，一个伟大且巧妙的设计

前文，我们讨论了什么是内积，并展示了一些在离散线性组合情况下如何使用它的例子。本文，我想讨论连续线性组合情况下的内积，以及它是如何引导我们理解狄拉克δ函数的。

假设有一个连续的正交归一基，这意味着我们可以像这样展开任意向量，

现在，和离散情况一样，我们想用内积得到某个特定的系数c(x)。假设我们想要对应于x = 2.71的向量的系数。

那么，我们会像在离散情况中做的那样，取这个向量的内积，并利用内积的右线性性，把内积移到积分内部。

和离散情况一样，我们想从这个积分中得到c(2.71)，

所以这个内积必须以某种方式从c(x)中挑出那个特定的值。如何做到这一点呢？实现这一点的方法是使用狄拉克δ函数。狄拉克δ是一个特殊的函数，当它与其他函数进行积分时，会挑出使其输入为零的值。

在这个例子中，x = 2.71使狄拉克δ的输入为零，所以这个积分就等于c(2.71)。现在，让我们稍微放慢一下步伐。很多人可能听说过狄拉克δ，但它到底是什么？这种积分性质又是如何产生的呢？

为了回答这些问题，接下来将仔细解析狄拉克δ，并试着理解这个令人惊叹的数学对象。

许多人最初学习狄拉克δ的印象是，它是一个在原点处等于无穷大、其他地方等于零的特殊函数。

你可能还见过给它的积分赋值为1。

我称之为“巨大尖峰”。这确实能让我们从狄拉克δ中提取出很多有用的东西。

例如，让我们来看看这个积分。

狄拉克δ在除x = 2.71之外的所有地方都等于零，在x = 2.71处则趋向于无穷大。因此，整个被积函数在除了x = 2.71的特殊点外的地方都等于零。也就是，总积分的唯一贡献就是在x = 2.71处的一个项，其他所有值都为零！

由于积分不关心c(x)的其他值，我们可以继续用唯一重要的值c(2.71)替换c(x)。

现在它是一个常数，我们可以将它提出来，

然后，利用狄拉克δ的积分为1的性质，就得到了使狄拉克δ有用的那个性质。

我们还可以给出一个更直观的推导。记住，这个积分只是对所有相关x值的求和。对于任何不等于2.71的x，对总和的贡献都是零，所以只剩下一个非零项。

在这一项中，无穷小dx、函数值和在零点的狄拉克δ。重新排列一下这些项，

现在，狄拉克δ趋向于无穷大，

“抵消掉”了无穷小dx，只留下函数值。需要强调，这只是不严格的推论。让一个函数在某一点等于无穷大并使其积分为1是没有严格数学依据的。但物理学家总是进行不严格的推论！那么，为什么要对这种无穷大的“尖峰”小心呢？因为当我们观察一些实际可以充当狄拉克δ的函数时，这种解释很快就会失效。

为了深入探讨这一点，让我们看一个充当狄拉克δ的极限函数的例子。我们可以取物理学家最喜欢的函数——归一化的高斯函数，并让它变得无限高和无限窄。

这样得到的确实是一个狄拉克δ，因为可以证明，对于良好的函数，这种极限满足我们在量子力学中需要的性质！这看起来很不错。但是要小心！这只是得到狄拉克δ的一种方法，还有许多其他极限函数满足相同的积分性质。比如这个极限函数，

也可以证明它的极限满足积分性质，这意味着它在量子力学中具有我们需要的狄拉克δ的功能。但是让我们看看它的图形。

随着我们取极限，中间的尖峰确实趋向于无穷大，但远离零点的那些点只是来回振荡，从未趋于零——这对零点以外的每一个点都是如此。因此，这不再是一个纯粹的“巨大尖峰”，零点以外的点并没有消失，它们一直在不断变化。

所以你会发现，这里有一个不符合“巨大尖峰”解释的狄拉克δ，但它仍然满足我们关心的性质。你可能会说，“这大概是一个晦涩的例子，是数学家为了烦扰物理学家而想出来的。”事实上，这是傅里叶变换和反傅里叶变换中出现的狄拉克δ。傅里叶变换再普通不过了，所以希望你能看到这个狄拉克δ例子非常适用且常见。

那么，作为物理学家，我们应该如何理解狄拉克δ呢？我们不应该抛弃“巨大尖峰”解释，因为它在直观理解狄拉克δ的工作原理时非常有用。但我们也不应该把它当作定义，因为这样很快会导致矛盾。

我个人脑海中有尖峰的图像，但我对狄拉克δ的数学理解是：狄拉克δ是满足以下性质的特殊对象。

就是这样，这就是我对狄拉克δ的定义。这是我们关心的性质，所以就把它作为定义，任何满足这一性质的都是有效的狄拉克δ。顺便说一句，唯一重要的是哪个点使δ的输入为零，所以我们不在乎是c - x还是x - c。尽管数学家有一个正式的框架来理解这样的对象，这种理解在直觉和一致性之间达成了很好的妥协。

现在我们对狄拉克δ有了更好的理解，让我们回到量子力学。为了在连续正交归一内积中得到预期的结果，正交归一条件需要有所不同。取代克罗内克δ，我们现在有了狄拉克δ。

直观的理解仍然适用，当它们不相同时为零，当它们相同时不为零。

有了这些，让我们看看当取两个向量的内积时会得到什么。

这次，我们将它们按连续的正交归一基展开。

为了更清楚，积分变量不同，但记住它们都是哑变量。我们将遵循上一篇文章的推理，如果你还没看过，请务必去看。

像离散情况一样，内积的右侧是线性展开的，而左侧是反线性展开的。这意味着我们可以把所有的内积移到内部并将系数拉到一边，同时对左侧系数取共轭。

这就像离散的情况！所以得到的是一个双重积分，非常像离散情况中的双重和。别担心，这不是多变量微积分！只需使用我们学过的知识。首先将正交状态的内积写成狄拉克δ。

然后，使用特殊的性质：狄拉克δ将挑出使δ输入为零的函数值。这在y = x时发生，无论x是什么。因此，在积分y时，狄拉克δ挑出y = x时的值。于是我们可以将y积分消去，并设y = x。

我知道这可能有点让人困惑，但回想一下我们对克罗内克δ所做的事情，这完全是同样的道理。这里得到的就是有些人可能见过的“波函数的内积”。希望你现在能注意到，这只是两个向量在连续正交归一基中展开时的内积，与离散情况非常相似。