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5 泰勒公式/麦克劳林公式_泰勒公式麦克劳林公式区别

moboyou 2025-09-03 03:58 6 浏览

泰勒公式产生的出发点

用简单、熟悉的多项式来近似代替复杂函数；
导数与积分仍是多项式，每个多项式都易计算函数值
多项式由它的系数完全确定，其系数又由它在一点的函数值及其导数所确定。

回忆微分的定义

若存在，在附近有。

可以得到：

近似可得：

如上图所示，已知点x0处的函数值f(x0)，并且知道该点导数值及函数的趋势。其中是趋势与真实值的差异。x是x0临近的点，如果二者距离非常小，曲线近乎成一条直线。x与x0距离越远，差距越大越大。

以直代曲

如下图两个曲线，当|x|非常小时，可以用直线近似表示。

如下图所示，只用一阶导数看曲线趋势有相当的误差，在某一点可以用一个切线以直代曲，但其他点也难以保障。因此，需要其他的方法让效果更好。一阶导数只能判断当前点的相邻下一点是向上（一阶导>0）或向下（一阶导<0）。

高阶导数的引入

把二阶导数引入，二阶导数表示一阶导未来的变化趋势。坐标系被两根红色线（x0、y的二阶导数）分成4个部分

若y的二阶导数>0，则y上的下一个临近点在两条红线围绕的右上区域；
若y的二阶导数<0，则y上的下一个临近点在两条红线围绕的右下区域。

如果在x0点相交 P(x0)=f(x0);
如果有相同的切线P'(x0)=f'(x0);
如果弯曲方向相同P''(x0)=f''(x0)。

三阶以上导数对原函数f(x)的关系难以描述。不过随着阶数的提高有如下的一些观察结果：

阶数越高的函数增长速度越高；

观察发现，阶数越高在偏右侧（x越大）影响越大；
对于一个复杂函数，给人直观感受：在当前点，低阶想能更好描述当前点附近的函数特性，对于之后的走势重度依赖高阶多项式。

泰勒多公式

称f(x)在x0关于(x-)的n阶多项式。

麦克劳林公式

麦克劳林公式可以认为是泰勒多项式的一个特例，是x0=0时泰勒多项式的特殊形式。

如下图所示，随着阶数提高，麦克劳林公式越来越来越逼近原函数。

例1：求函数的n阶麦克劳林展开式。

解：

例2：求函数f(x)=sinx的n阶麦克劳林展开式。

解：

，，，

为一个周期。

令n=2m，则有：

麦克劳林公式解读

阶乘的作用：如果公式中没有阶乘，把9次幂与2次幂放在一起，2次幂将不会有任何贡献，但在开始阶段2次幂的效果更好，之后才慢慢发挥9次幂的作用。由于高阶函数增长显著，因此使用阶乘对高阶次幂进行了限制，之后随着x值增加，高阶数量的效果将开始显现。

有了9！和2！的帮助，函数图像先呈现出x二次幂的特征，随着x的增大，再呈现出x的9次幂的特性。

例：逼近y = sinx，如下图所示，随着阶数的增加函数的曲线越来越逼近原函数。

如下曲线，先表现出2次幂的特性，之后再缓释9次幂的特性。

阶乘函数为什么增长那么快

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泰勒公式产生的出发点

以直代曲

高阶导数的引入

泰勒多公式

麦克劳林公式

麦克劳林公式解读

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