欧拉数（e）是一个无理数——约为 2.71828。它是数学中最重要的数字之一。除了在纯数学中的重要性之外，e在统计学、物理学和工程学中也是不可或缺的。

由于数字是许多数学学科的基础，因此有多种定义方法。在本文中，我将不分先后顺序地介绍我最喜欢的三个方法——两个来自分析，它们提供了宝贵的见解，让我们了解欧拉数为何如此神奇，另一个来自数论，只是为了好玩。

限制

第一个公式是雅各布·伯努利在 1683 年首次定义e ，之后欧拉于 1727 年开始使用它。和伯努利一样，我也是第一次在复利的背景下学习e的极限定义。假设你在银行有 1 英镑。这家银行有一些奇怪的规则：

• 你可以将一年划分为n 个利息期
• 银行在每个利息期结束时向你支付（100/ n ）%的复利

例如，如果您选择n = 5，银行将每 1/5 年向您支付 20% 的复利。我们很快就会看到，您选择的n越大，您获得的利息就越多。如果此利息不是复利，那么无论您选择n是多少，您今年年底都会得到 2 英镑。

如果您选择n = 2，您的收入会稍微多一些，全年收入为 2.25 英镑。如果您选择n = 20，手工计算会很麻烦。乘以 1.05 即可得到 +5%。这种情况发生了 20 次。

让我们找到n 个利息期的公式。要添加 (100/ n )%，我们需要乘以 (1 + 1/ n )。这种情况在一年中会发生n次。

现在我们可以更轻松地回答这个问题：一年内我们能从这家银行赚取的最大利息是多少？我们想选择最大的n，但没有最大的n。这时我们取一个极限并分析公式在n变大时的行为：

这个公式是否增长得太快，或者它是否趋近于某个值？括号中的数字越来越小，但当n趋近于无穷大时，幂数却越来越大。奇迹般地，公式稳定下来，没有超过某个值。这个值是：

正是欧拉数字——假设一年内你能从一家银行榨出最多的钱。

系列

欧拉数也被定义为收敛级数。

它是阶乘倒数的总和。0！和 1！等于 1，得出数字的倍数。您可以使用以下公式快速证明该级数收敛比率检验。e的这个定义在分析中很常见，因为它产生了指数函数、幂级数以及数学中最重要的函数之一。

也可以使用比率测试证明该级数对x的每个值都收敛。“指数”这个名字不仅仅是为了炫耀——该函数等同于欧拉数e的 x次方，所以我们经常把它写成e。我们可以使用幂律逐项微分收敛幂级数，就像我们微分多项式一样。指数幂级数的阶乘分母使其在微分下具有特殊性质。

指数是其自身的导数，因此在e曲线上的任何给定点，其斜率等于其高度。

因此，指数函数也是它自己的反导数，因此到给定点x 的整个曲线下的面积为e。该函数也与三角函数正弦和余弦密切相关，但我将把它作为挑战留在本文的最后！现在，让我们使用一些数论来奇怪地写e。

连分数

连分数是将无理数写成无穷分数的一种方法。以下是π的示例。

这种情况会一直持续下去。连分数很快就会变得难以书写，因此如果我们确保每个分子都是 1，我们可以使用一些更简单的符号。

• π = [3: 7, 15, 1, 292, …]

不是分子的数字 — 按顺序排列。将连分数截短可为无理数提供最佳近似值。如果我们在 292 之前截断π的连分数，则得到 [3: 7, 15, 1]，其计算结果为

非常接近π。我曾写过一篇关于连分数和如何以惊人的速度自己计算连分数的完整文章

e的连分数遵循一种模式。

整数部分之后是三元组 (1, 2 n , 1)，其中 2 n取递增的偶数值。

我们可以用它来得到e的一些有用的近似值。如果我们在 6 后面的 1 之后截掉连分数，我们得到

这是一个相当不错的近似值，但在对连分数进行十步计算后，结果可能不如您预期的那样好。连分数中的数字越小，近似值越差。数字越大，结果越好。我们可以通过对π进行出色的近似来看到这一点，只需对连分数进行四步计算 — 下一个结果为 292。

额外挑战

挑战1：计算掷出n在n面模具n卷。取极限为n趋近于无穷大，并用埃。

挑战 2：正弦和余弦的幂级数如下。

使用这些来证明恒等式e ^( ix ) = cos( x ) + i sin( x )，其中i是 -1 的平方根。

挑战 3：（推荐使用计算器）计算 [1；2，2，2，…]、[2；4，4，4，…] 和 [4；8，8，8，…]。请随意将条目加倍以获取更多信息。你注意到了什么？你能发现其中的规律吗？