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高数，实际上《麦克劳林公式》比泰勒公式用的多，学到就是赚到。

moboyou 2025-09-04 12:52 18 浏览

上节课我们学习了泰勒公式，明白了泰勒公式的推导过程，这节课我们再来看一下麦克劳林公式，到底要怎样运用。

我们首先来看一下，泰勒公式的定理是怎样讲解的。

Taylor 中值定理：若f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一x属于(a,b)，f(x）可表为(x-x。)的一个n次多项式与一个余项R(x)之和

这个定理听起来稍微有些拗口，大家只需要只知道这个公式怎么来的就可以了，并且能运用到实际数学题目中。

还有就是佩亚诺型余项，大家一定要知道是什么意思：佩亚诺型余项的泰勒公式是指在泰勒展开中，用佩亚诺型余项来估计函数在某个点处的误差

另外就是，拉格朗日余项是实际函数和它的泰勒展开多项式之间的差值，这个差值可以被视为泰勒级数展开的误差。

注意：0的阶乘为1，在集合论中，基数n的阶乘被定义为一个基数为n的集合的对称群的基数。对于基数为0的集合（即空集），到自身的双射只有一个，就是空映射，因此空集的对称群只含有一个元素（独元集），这个元素的基数即为1。

接下来，我们再来看一下麦克劳林公式是怎么来的，对于麦克劳林公式，我们只需要在泰勒公式的基础上，令其x＝0即可得到。此时可以将麦克劳林公式用两种形式进行表达，这两种形式只是余项的不一样。

以上这种形式，就是带拉格朗日余项的麦克劳林公式。

以上这种情况，就是带佩亚诺余项的麦克劳林公式。

根据上述公式，我们一起来看几个常见的函数展开式，以便大家更好理解公式运用。

分析：根据公式可知，我们首先要找到指数函数f(x)＝e 的（n＋1）阶导数，即从一阶导开始，一直到（n＋1）阶导。然后再将零代入，最后用公式代换即可。

解：由题可知，我们可以先进行求导，f'(x)＝e ，f''(x)＝e ……f(x)＝e，然后将x＝0代入可得，f'(0)＝f''(0)＝…＝f(0)＝1，另外就是函数（n＋1）阶导数也需要知道。

因为我们求解的是n阶麦克劳林公式，所以就有e 的展开式为：

我们再来看一个例题，我结合图像给大家更直观的观察。

分析：同样的方法，要想求解n阶麦克劳林，那么就需要将导数找出来，这是一个正弦函数形式，所以在求解导数时，要注意观察其规律。

通过对函数f(x)＝sin(x)求导，会发现有以下规律，即:

(sinx)'＝cosx， → (cosx)'＝－sinx →

→ (－sinx)'＝－cosx，→ (－cosx)'＝sinx

(sinx)'＝cosx

通过求导，我们再将上述推导代入到公式，即可得到正弦函数的n阶公式。

通过推导，我们将余项也表示出来，最后就可以得到正弦函数的麦克劳林公式。

细心的朋友可能发现了，如果令m＝1，实际上就可以得到近似公式: sinx≈x

以下是正弦公式展开后的图像变化情况，从图像可知，项数增加过程中，展开式越接近函数f(x)＝sin(x)

感兴趣的朋友，可以自己动手做一做这个图像，观察一下图形的变化过程，以下是一些常见的函数麦克劳林公式，大家下去过后，自己动手推导一下。

今天的内容就讲到这里，有不同见解的朋友，评论区留言讨论，以供大家参考学习。

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