根据2025年NOI修订版大纲及最新命题趋势，CSP-J（入门级）的数学知识大纲在原有基础上进行了结构性调整，重点强化算法思维与实际应用能力。以下是结合官方文件和权威解读的核心内容：

数论基础

1. 模运算与取余（调整后）

- 弱化同余式理论，聚焦模意义下的加减乘运算实现，解决大数取余问题。

- 需掌握模运算分配律、结合律，以及快速幂算法优化高次幂取余。

2. 质因数分解与筛法

- 埃氏筛法、线性筛法求素数（难度4），唯一分解定理的应用（如求约数个数、约数和）。

- 新增「欧拉函数」基础概念（难度5），用于计算与 m 互质的数的个数。

3. 约数与倍数

- 辗转相除法求GCD与LCM，扩展应用于分数化简、同余方程求解。

组合数学

1. 基础计数原理

- 加法原理与乘法原理的综合应用，如排列组合中的捆绑法、插空法。

- 排列组合公式的推导与快速计算（需处理阶乘模运算）。

2. 二项式定理（新增）

- 掌握展开式 ，结合杨辉三角理解组合数递推关系。

- 应用场景：多项式展开、组合数求和。

3. 容斥原理

- 二维容斥公式（如三个集合的并集大小），用于解决重叠计数问题（如求不满足条件的元素个数）。

算法策略与数学工具

1. 前缀和与差分（新增）

- 一维前缀和快速计算区间和，二维前缀和处理子矩阵和。

- 差分数组实现区间更新，优化暴力模拟的时间复杂度。

2. 递推与动态规划

- 斐波那契数列、错位排列等递推模型，结合状态转移方程设计（如线性DP、背包问题）。

- 新增「树型动态规划」基础（难度5），如求二叉树的最大路径和。

3. 位运算优化

- 按位与（&）、异或（^）的性质，用于快速判断奇偶性、掩码操作（如状态压缩）。

- 二进制位操作与格雷码的关系（虽删除格雷码考点，但位运算仍是核心工具）。

几何与代数

1. 平面几何

- 勾股定理、海伦公式计算三角形面积，坐标变换（平移、旋转）后的点坐标求解。

- 几何问题的编程实现（如判断点是否在多边形内、射线法）。

2. 数列与函数

- 等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，应用于规律题（如平方和、立方和）。

- 一次函数、二次函数的最值求解（如配方法、导数法），优化实际问题中的决策。

调整与删除内容

1. 新增知识点

- 算法策略：前缀和（3级）、差分（4级）。

- 组合数学：二项式定理（4级）。

- 数论：欧拉函数（5级）。

2. 调整内容

- 初等数论：「模运算与同余」改为「模运算与取余」，弱化理论，强化应用。

- 动态规划：新增「树型动态规划」基础（5级），提升状态设计能力。

3. 删除知识点

- 格雷码（2级），减少机械记忆内容，聚焦算法设计。

命题趋势与备考建议

1. 命题特点

- 数学与算法结合紧密，如前缀和优化区间查询、二项式定理与组合数递推。

- 题目场景化增强，需从复杂描述中提炼数学模型（如2023年「小苹果」题）。

2. 备考重点

- 优先掌握前缀和、差分、二项式定理等新增内容，通过真题（如2025年模拟题）训练应用能力。

- 强化模运算与取余的代码实现，避免整型溢出（如使用unsigned long long或取模技巧）。

- 关注组合数学与动态规划的综合题，如用二项式定理优化状态转移方程。

3. 资源推荐

- 官方大纲：NOI官网发布的2025年修订版大纲，明确知识点层级与难度系数。

- 真题训练：近五年CSP-J复赛真题，重点分析数学与算法结合的题型（如2024年「糖果游戏」）。

总结

2025年CSP-J数学大纲的调整体现了从知识记忆向算法应用的转型，新增的前缀和、差分、二项式定理等内容强化了基础算法与数学工具的结合。

考生需在掌握数论、组合数学等核心知识的基础上，通过编程实践提升数学建模能力，尤其关注真题中高频考点（如模运算、递推、几何计算）的优化解法。

建议结合官方大纲与权威解读，制定分层学习计划，重点突破新增内容与算法思维训练。