想到动态规划就无敌了?这道题还有更牛的解法

今天是LeetCode专题第36篇文章，我们一起来看下LeetCode的62题，Unique Paths。

题意

其实这是一道老掉牙的题目了，我在高中信息竞赛的选拔考试上就见过这题。可想而知它有多古老，或者说多经典吧。一般来说能够流传几十年的算法题，一定是经典中的经典。下面我们就来看下它的题意。

这题的题意很简单，给定一个矩形的迷宫，左上角有一个机器人，右下角是目的地。这个机器人只能向下走或者是向右走，请问这个机器人走到目的地的路径一共有多少种？

这题很良心地给定了条件，矩形的长和宽都不超过100.

样例

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Input: m = 7, n = 3
Output: 28

解法

在我写题解的时候，我突然想起来上一次见到它好像是在某个综艺节目当中。它被作为一道智力题来考一些明星嘉宾，好像一众明星里面，只有关晓彤做了出来。。。

它作为智力题有一个标准的模板式解法：

对于图中的C点来说，从起点通往它的路径数量等于通往A点和B点路径的和。

这个结论我们很多人都知道，因为C点只有两个来源，一个是A点一个是B点。它既可以从A点来，也可以从B点来，所以应该是一个加和的关系。

这当然是没错的，但不知道大家从这个过程当中有没有什么感悟。C点的上游是A点和B点，也就是说C状态是由A状态或者是B状态转移到的。这不就是一个动态规划算法吗？

我们用dp记录每一个位置的答案的话，那么可以很轻松地写出状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

我们用代码把这个方程实现就能解出问题了。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0 for _ in range(n+2)] for _ in range(m+2)]
        
        dp[0][1] = 1
        
        for i in range(1, m+1):
            # 特殊处理第一列，因为第一列只有1种
            dp[i][1] = dp[i-1][1]
            for j in range(2, n+1):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
                
        return dp[m][n]

one more solution

如果只有上面这一种解法，那么这道题完全没有说的必要，也太简单了。这道题还有另外一种解法，会更加简单。

在上面的解法当中，我们是把这个问题当成了算法题来解决的，使用动态规划算法进行建模，适配题目来解决它。但如果我们换个思路，完全可以把它当做数学问题来解。

我们来分析一下问题，机器人要从左上角走到右下角，地图是没有缺陷的，所有点都可以到达。由于机器人没办法走回头路，也就是说机器人在通往终点的过程当中走过的路程是确定的。也就是要走n-1条横边和m-1条竖边。

边的总数和种类都确定了，其实这个问题可以转化一下。我们把走的横边看成是白球，走的竖边看成是黑球，那么这道题其实就可以转化成，我们有n-1个白球，m-1个黑球，现在把它们排成一排，一共有多少种方法？

这个是小学的组合数学问题，我们要从整体的n+m-2个物体当中，选出n-1个，那么显然答案就是：C(n+m-2, n-1)

不过，虽然我们用一个式子就表达了，但是要求解这个组合数，还是需要通过循环的。我们把它转化成:

接着我们用循环求解即可。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        ret = 1
        
        for i in range(1, n):
            ret = ret * (n+m-1-i) // i
        return ret

相比于上面的做法更加简短，虽然两者看起来都是 O(n) 的算法，好像差别不大。但是每个数的阶乘和组合数都是可以预处理的，在频繁求解的场景下，显然要比动态规划算法更快。

结尾

这道题就算是讲完了，大家会发现LeetCode过了50题之后，涉及到新的算法明显变少了。毕竟LeetCode并不是高强度的算法平台，主打的还是算法入门。这也限制了它的难度无法和codeforces、topcoder这种主打算法竞赛的平台相比。所以很多人刷到一百题左右的时候，就会觉得没意思。

感觉很多题目大同小异，新鲜感和正反馈都变少了。这个时候就需要我们把问题做精，多去思考和求解最完美的解法。即使是为了应付面试而刷题，这也是很有必要的。高水平的面试官往往都不会出LeetCode上的原题，都会加一些变化来考察选手，甚至有些大牛会出原创题。光摸清套路是不够的，我们还需要更加深入的理解。

套用一句电影台词作为结尾：we need to go deeper.

各位看官大人，麻烦给个关注吧~