24点算术游戏以它独具的数学魅力和丰富的内涵被越来越多的人们所喜爱。这种游戏方式简单易学，能健脑益智，是一项极为有益的活动。两位数内加、减、乘、除四则混合运算是小学生必须具备的数学技能，通过24点算术游戏训练可以提高小学生运算水平，为将来数学学习打好基础。“巧算24点”能极大限度地调动多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。

一、24点游戏介绍

规则

任意选取4个1～13的正整数，要求四个数字四则运算结果等于24。

这个游戏常用扑克牌来开展，拿一副牌，抽去大小王后，剩下1～13这52张牌(A=1、J=11、Q=12、K=13)。任意抽取4张牌(称为牌组)，用加、减、乘、除(可加括号)把牌面上的数算成24。每张牌必须用且只能用一次。如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为(9-8)×8×3=24。

算法

在有解的牌组中，把牌面上的四个数想办法凑成2和12、3和8、4和6，再相乘求解。用得最为广泛的是以下六种组合解法：(我们用a、b、c、d表示牌面上的四个数)。经计算机模拟计算，随机的4个1-13的整数(数字可重复)中，能够算得24的概率约为74.835%。

(a-b)×(c+d)，如(10-4)×(2+2)=24；

(a+b)÷c×d，如(10+2)÷2×4=24；

(a-b÷c)×d，如(3-2÷2)×12=24；

(a+b-c)×d，如(9+5-2)×2=24；

a×b+c-d，如11×3+l-10=24；

(a-b)×c+d，如(4-l)×6+6=24；

典型案例

二、算法设计思路

• 算符：加【+】、减【-】、乘【*】、除【/】和括弧【（）】
• 数字：任意选取4个1～13可重复的整数
• 规则：将4个整数用3个算符或括弧链接起来构成运算结果为24的算式，或判断出无解（所选4个整数等于24的算式不存在）

例：现有4个整数3、3、8和8，能否按规则列出算式，计算结果为24.

解：8/(3-8/3) = 8/(9/3-8/3) = 8/(1/3) = 8*3 = 24。

那么，怎么样用电脑解决24点问题呢？

枚举法或者称为穷举法，就是在所有按规则构成的算式中去筛选。

如果按规则构成的算式数量是有限的，理论上就可以用编程方法找出答案。

在24点算法中，算符和数字按规则构成的算式有10752个，其中有大量的冗余算式。

例如，1+2+3+4、2+1+3+4、(1+2)+4+3计算结果相同，只要其中最简单的（1+2+3+4）即可，其它都是冗余算式。

编程过程中，如果需要去除冗余算式，需要在循环过程中通过许多条件判断语句来完成。这样往往会增加编程难度和降低运算速度。如果面对的算式集合不是特别大，可考虑直接全部列出所有算式，再从中赛选计算结果为24的算式即可。

合理构造24点算式需要点排列、组合知识，计算采用C++、VBA、Python、R、Javacript等编程语言解决24点问题也不是一件容易事。

EXCEL（不是EXCEL VBA）能办到么？

和C++等编程语言相比，有的问题用EXCEL解决效率会更高，COUNTIFS函数对于编程语言来说需要多行代码来实现循环和多重条件判断；但解决24点之类的问题则没有编程语言那么强大、灵活。只要运用得当，大多数算法问题都可以用EXCEL解决，差别只是效率问题。

三、EXCEL算法设计

1、算符排列问题

加【+】、减【-】、乘【*】、除【/】4个算符在每个算式中出现3次（可重复），它们将4个整数连接起来。由于可以重复使用，这是一个排列问题，排列数=4×4×4=64。排列集合为：

2、数字组合问题

4个值域1-13的整数在算式中顺序可以调换，但每个数只能在算式中使用一次，这是一个组合问题，组合数=4×3×2×1=24。设4个数为1、2、3、4，组合集合为：

3、用户界面

注：在sheet1设计用户界面，任意输入4个1-13的数字，选择显示答案可在G2中显示算式

4、算式模板构造

算式模板划分为：

• 无括弧算式（1组）
• 一对括弧两个数字构成的算式（3组）
• 两对括弧构成的算式（1组）
• 一对括弧三个数字构成的算式（2组）

每组有64个算式，共7组448个算式。

无括弧算式

任意一组数字（共有24组）和算符集合可以构造出64个算式：

算式模板在sheet2，第1行关联绑定输入界面数字，如【A1=Sheet1!B2】、B1=Sheet1!C2】、C1=Sheet1!D2】、D1=Sheet1!E2】,这样就保证了随输入数据变化而变化。

无括弧算式由输入数字和算符集合构成，共有64个。

公式【=$A$1&MID(A2,1,1)&$B$1&MID(A2,2,1)&$C$1&MID(A2,3,1)&$D$1】

首先在A18定义公式，然后复制、粘贴到单元格局域A18：D33，从而将4个数字用3个算符连接起来。【MID(A2,1,1)】、【A2,2,1】、【MID(A2,3,1)】分别提取对应位置第1、2、3个算符。

单元格局域E18：H33为对应算式计算结果。在E18定义公式【=EVALUATE(A18)】，然后复制、粘贴到E18：H33，进而获得计算结果

注意，EVALUATE函数将字符公式转换为算式并获得计算结果，这个函数在WSP EXCEL、EXCEL365和EXCEL2016以后版本才有，本文使用的是WSP EXCEL。

一对括弧两个数字构成的算式

一对括弧两个数字构成的算式有三种组合：

• 括弧内为左面两个数字
• 括弧内为中间两个数字
• 括弧内为右面两个数字

共有64×3 = 192个算式。

在A34定义公式【="("&$A$1&MID(A2,1,1)&$B$1&")"&MID(A2,2,1)&$C$1&MID(A2,3,1)&$D$1】。在适当位置比无括弧算式多了一对括弧，其它操作和无括弧算式相同，不再赘述。

在A50定义公式【="("&$A$1&MID(A2,1,1)&$B$1&")"&MID(A2,2,1)&$C$1&MID(A2,3,1)&$D$1】。

在A66定义公式【=$A$1&MID(A2,1,1)&$B$1&MID(A2,2,1)&"("&$C$1&MID(A2,3,1)&$D$1&")"】。

两对括弧构成的算式

两对括弧构成的算式只有一种组合，共有64个算式。

在A82定义公式【="("&$A$1&MID(A2,1,1)&$B$1&")"&MID(A2,2,1)&"("&$C$1&MID(A2,3,1)&$D$1&")"】。

一对括弧三个数字构成的算式

一对括弧三个数字构成的算式有二种组合：

• 括弧内为左面三个数字
• 括弧内为右面三个数字

共有64×2= 128个算式。

在A98定义公式【="("&$A$1&MID(A2,1,1)&$B$1&MID(A2,2,1)&$C$1&")"&MID(A2,3,1)&$D$1】。

在A114定义公式【=$A$1&MID(A2,1,1)&"("&$B$1&MID(A2,2,1)&$C$1&MID(A2,3,1)&$D$1&")"】。

至此，从第18开始到129行，共有112×4 = 448个算式。

图5中J、K列为计算结果为24时的所在列、行判别式。如图：

在J18定义公式【=IF(ISERROR(MATCH(24,E18:I18,0)),0,MATCH(24,E18:I18,0))】并复制、粘贴到最后一行（）。由于有点数字组合会发生分母为0的情况，所以公式先判别算式是否有错，如果出错返回0，否则返回24所在列，如果算式不等于24同样返回0。

在K18定义公式【=IF(J18=0,1000,ROW())】如果左边相邻数不等于0，返回其行号，否则返回一个大数1000（因为24所在算式的行号一定小于1000）。

在L17定义公式【=IF(SMALL(K18:K129,1)<1000,SMALL(K18:K129,1),0)】提取24所在行号；在L18定义公式【=IF(L17=0,0,INDEX(J18:J129,L17-ROW()+1))】提取24所在列号；在L19定义公式【=IF(L17=0,0,INDEX(A18:D129,L17-ROW()+2,L18))】提取计算结果为24的算式。如果无解，L17、L18、L19都为0。

这样，就在sheet2完成了算式模板的构造。

5、不同数字组合算式模板

任意4个1-13的整数构成算式时，数字顺序可以调换，这样就构成了24种组合。利用前面制作的算式模板，可以轻松制作其它数字组合的算式模板。

第一步：将sheet2的算式模板整体复制、粘贴到sheet3；

第二步：修改sheet3第1行数字绑定顺序

注：为了方便解释数字组合，可将输入数字设为1、2、3、4。其组合集合参见文章前面组合集合表

同理，依次在sheet4、sheet5、...、sheet25构造完成所有算式模板构造。

可以考虑将所有算式模板放在一个表格中，这样会大大增加公式定义的难度。好在EXCEL处理10000行记录内的表格非常轻松，即使几十个表格也没问题。

6、算式模板统计表

在单元格A1定义公式【=INDIRECT("Sheet"&ROW()+1&"!L19")】，复制、粘贴到24行，提取每个算式模板L19单元格的算式。

在单元格B1定义公式【=IF(A1<>0,ROW(),99】，复制、粘贴到24行，如果左面单元格数字不等于0，返回行号，否则返回一个大数99。

在单元格C1定义公式【=IF(SMALL(B1:B24,1)<99,SMALL(B1:B24,1),0)】，如果左面单元格数字小于99（无解时，B1：B24都为99），返回B1：B24的最小值（最先等于24的算式所在行号），否则返回0。

在单元格D1定义公式【=IF(C1<99,INDEX(A1:A24,C1),0)】，如果左面单元格数字小于99，提取算式，否则返回0。

7、统计结果关联

首先，回到用户界面【图1】，单元格H1跨行，设置下拉框（【显示答案】、【隐藏答案】）；

其次，定义关联公式。如图：

在单元格G2定义公式【=IF(H1="显示答案",IF(Sheet26!D1=0,"无解",Sheet26!D1),"")】，如果H1为"显示答案"，提取Sheet26!D1中的算式，否则返回空格；如果Sheet26!D1中的值为0，返回无解。

在单元格F2定义公式【=IF(H1="显示答案",IF(ISERROR(EVALUATE(G2)),"无解",EVALUATE(G2)),"")】，如果H1为"显示答案"，用EVALUATE函数计算G2中的算式，否则返回空格；如果计算出错，返回无解。

终于全部完成24点游戏设计！

在输入界面中，发牌输入任意4个1-13的整数，即可返回算式和计算结果。

用EXCEL解决复杂算法问题时，应尽量将问题拆解为具有相同功能的模板，每个模板类似于编程程序中的函数，然后用其它表格汇总不同模板，最后根据汇总结果输出问题答案。

做为EXCEL爱好者，希望您能耐心看完、看懂，并模仿制作出自己的EXCEL24点游戏文档。如果您的EXCEL24点游戏文档可以正常工作了，相信您的EXCEL技能也上了一个台阶。

“通过算法学编程”，C++如此、EXCEL如此，任何软件都一样。