什么是偏微分方程（PDE）？

偏微分方程是具有多个独立变量的方程，一个未知函数取决于这些变量和未知函数相对于自变量的偏导数。请阅读参考资料以了解更多信息。

PDE的通用是：

通过只考虑前三个系数，A B和C，我们可以确定我们正在处理什么方程或我们正在解决什么问题。

• 如果B^2-4AC < 0，我们有一个椭圆PDE。在这个问题之王上，我们使用了拉普拉斯方程。

该方程的两个导数是空间x^2和y^2的导数，没有时间导数。

• 如果B^2-4AC >0，那么我们有一个双曲PDE，其中使用波方程

这个方程的两个导数是二阶t^2的时间和二阶y^2的空间导数。

• 如果B^2-4AC = 0，那么我们有一个抛物线PDE，并使用扩散方程。

就像双曲PDE一样，扩散看起来相似，但这里的时间是第一阶的，空间是第二阶的。

计算机和差分器

• 远期差异

虽然计算机非常擅长数学，但它们不理解微分方程。为了告诉计算机求解微分方程，我们需要离散方程。考虑以下几点：

U=u（x，y）

以x为计算的部分展开是

通过放弃二阶项，我们最终会得到一个非常近似的公式：

这是一个著名的欧拉方法方案，在ODE（普通微分方程）中可以看到。在某种有限差异中，它被称为正向差异。

看看以下示例：

前瞻性的区别是：

O（h）是以h为单位发生的错误。更多信息请参阅链接。

落后的差异

通过查看正向差公式，我们注意到正向差是通过用当前步骤ui,j减去下一步ui+1,j来找到的。直观地讲，我们可以想到落后的差异。

可以通过减去当前步骤ui,j和上一个步骤ui-1,j来找到向后差异

核心差异

考虑以下几点

放弃第三阶，我们将以近似值结束

类似于向前和向后的差异，但这次我们“站”在中心，这意味着在左侧u（x+Δx）我们向前看，在右侧u（x-Δx）我们向后看。这是中心差异，因为你站在中心，向前看差异，也向后看/。

就指数而言，我们将有组合公式。

扩散方程

为了在有限系统u(x, t)中求解1D中的扩散方程，其中t是时间，我们写：

...对于0 ≤ x ≤ L，D是热扩散率D = √（k/Cp），其中：

• K：导热性
• p（希腊语ro）：材料的密度
• C：比热

看着X，我们注意到它从0开始，以L结束，所以0和L是X的边界，其中L是杆的长度。

要求解这些方程，需要一个初始条件，例如u(x,0) = u0(x)，这意味着时间0的温度是u0(x)。初始条件总是一些函数，它表示时间0时所有点的温度，稍后我们看到它是如何演变的。
解方程还需要两个边界条件，其中边界将随着时间的推移而固定。u(0,t)=u1(t)，即左边界，u(L,t)=u2(t)为右边界。

边界条件是时间的函数，这意味着它们将随着时间的推移保持不变。

注：这是一种非常简单的扩散方程形式，因为不考虑辐射、冷却和其他因素。或者杆0≤x≤L与环境隔离。

以离散形式（正向差和中心差）编写方程：

...其中总误差为O(k + h^2)

注意：在第一个公式中，我们取了j+1，因为我们假设j是时间指数，第二个公式i+1中的bun，因为i是二阶空间。

离散的公式看起来像这样。

为了简化公式，为了简单起见，我们采用D=√(kC/p)=1。由于D = 1，我们取左分母k，我们用右分母h^2进行分解，这给了我们r=k/h^2的比率，简化的形式如下所示：

r通常在0 < r < 1/2之间选择

1D编码扩散

现在我们把公式离散化了，我们让电脑来做数学运算。

编码摘要。

首先导入numpy和matplotlib。为X值创建一个numpy linspace数组，为U函数创建一个np.zeros，其精确值为X。声明初始条件和边界条件。最后，循环时间，比如100，然后循环从1到L-1的空间，因为我们分配了边界条件，它们是固定的。

上述代码将产生以下情节。

2D中的扩散怎么样？

在1D中，我们看到u\t = ^2u\y^2，现在同样的公式适用，但我们添加了另一个二阶空间导数。

继续，将公式降格：

...在哪里：

• i：x-index
• j：y-index
• t：时间索引

简化公式，我们最终得到了：

2D编码扩散

• 编码摘要

像我们在1D中所做的那样导入numpy和matplotlib。也进口海生，有点风格。为了绘制结果，我们将在matplotlib中使用 contourf函数，因此不需要x和y数组。将u定义为np.zeros，形状为100x100。定义初始条件，但由于边界为0，并且我们有零网格，因此我们不会定义边界。
为了使图形更有趣，让我们先用2D动画，然后用3D动画来做。

2D动画代码

结果如下...

2D空间中的2D扩散

3D动画

• 代码摘要

作为2D，3D将非常相似。但为了在matplotlib中使用countourf3D创建3D形状，我们实际上需要np.meshgrid的x和y。在 contourf3D中，我们将传递X、Y和u。

结果如下...

3D空间中的2D扩散

结论

PDE是具有许多自变量的方程。它们有一个未知函数，它依赖于未知函数的自变量和偏导数。从一般形式上看，我们可以确定我们正在解决的问题。如果B^2-4AC<0，我们有一个椭圆形PDE。如果B^2-4AC>0，我们有一个双曲PDE。如果B^2-4AC=0，那么我们有一个抛物线PDE。在解决算术问题方面，计算机比人类好得多，但他们不理解微分方程。因此，为了告诉计算机如何解决它们，我们必须首先离散方程。

一般来说，PDE只是模拟热传递等工程系统的数学工具，就像我们在上面的示例中所做的那样，液压流、电路等......