亨利·庞加莱（1854–1912）曾说：“我们依靠逻辑去证明，却靠直觉去发现。”

在任何形式化的思想体系中，总会有一些预设前提——也就是被视为根本正确的事实。在数学中，学生们有时被要求接受一些看起来毫无道理的事实，仅仅是为了逻辑上的一致性。例如皮亚诺公理、欧几里得的平行公设，或者选择公理。

在这篇文章中，我们来探讨一个有趣的事实，它出现在阶乘函数的语境中。阶乘函数用感叹号“!”表示，它的定义是将一个正整数 n 与它以下的所有正整数相乘：

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × … × 1

比如：

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

那么，当我们遇到 0! 的时候，会发生什么呢？我们将从最不直观的角度出发，逐步建立起对这一数学“事实”的深刻直觉理解。

空乘积约定

所谓“空乘积”约定，是一个典型的保持一致性的数学规则。阶乘本质上是一种连乘。在数学中，每当我们谈到一系列因子的乘积时（比如一堆数相乘），我们通常的意思是这样的：

a × a × a × … × a

那么问题来了：如果一个因子也没有，那我们还谈什么乘积呢？空乘积约定告诉我们：当乘积中没有任何因子时，其值被定义为 1。

这和加法中的“空加和”很类似——当一组数为空时，加法的结果被定义为 0，因为 0 是加法的单位元。同样地，在乘法中，1 是乘法的单位元，所以“没有任何数相乘”的结果就定义为 1，听起来也算合理。

打个比方，假设我们拿数字 27 来举例。它可以拆成 3 × 3 × 3，一共三个因子。我们每次除以 3，相当于去掉一个因子：第一次除后剩下 3 × 3，再除一次剩下 3，最后再除一次，就没有因子了，只剩下乘法单位元 1。从这个角度来看，完全清除所有因子得到的结果是 1，这便很好地解释了为何：

递归法

理解 0! = 1 最清晰的方式之一，是通过观察阶乘函数随 n 减小时的规律。假设我们从 n = 4 开始：

注意，这里我们可以看出一种规律性的关系：

n! = n × (n - 1)!

这是阶乘函数的递归定义。

根据这个定义，当 n = 1 时：

1! = 1 × 0!

我们知道 1! = 1，因此：

1 = 1 × 0!
由此推出：0! = 1

这个推导过程没有任何漏洞，全然是逻辑的演绎。换言之，如果我们希望阶乘函数在所有整数 n ≥ 0 上保持一致的递归结构，那么我们必须定义 0! = 1，否则公式 n! = n × (n - 1)! 就在 n = 1 的时候崩溃了。

计数论解释

我个人最喜欢的视角是从“如何计数”来理解这个问题。这里有两个密切相关的概念：排列和组合。

排列指的是对 n 个不同对象进行有序排列的方式数。举个例子：

有 3 个乐高小人：艾玛（Emma）、奥莉（Ollie）和艾莉娅（Aliya），那么可以有几种不同的排列方式？

答案是：3! = 6 种

现在我们把奥莉移除，只剩下艾玛和艾莉娅，那么排列方式是：

2! = 2 种

再移除艾莉娅，只剩下艾玛一个人，此时排列方式为：

1! = 1 种

最后，我们把艾玛也移除。请问：0 个对象可以有几种排列方式？

答案是：只有一种。

换句话说，空集 { } 只有一种排列方式——那就是“什么也不排”，也就是空排列本身。这就是：

0! = 1

换个角度，从组合的角度来看——组合是指从 n 个元素中选出 k 个元素的方式数（不考虑顺序）。其通用公式是：

假设有 5 个对象，从中选出 3 个，那么我们可以选出多少种不同的组合？答案是：

那我们从这 5 个对象中选出 0 个呢？

如果我们希望这个公式在 k = 0 的时候也成立，那我们就必须令 0! = 1。

这也符合我们的直觉：从一堆物品中不选任何一个，只有一种方式——什么也不选。

伽马函数

还有一种更抽象的解释，基于伽马函数（Gamma function）。这是一个将阶乘函数扩展到非正整数以外的连续函数，通常归功于瑞士博学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。

简单来说，伽马函数 Γ(z) 提供了一种方式，可以把阶乘函数推广到诸如 22/7 这样的非整数（甚至复数）。它通过一个积分定义：

这是对正实数的定义。

它的一个关键性质是：

Γ(n + 1) = n!

因此：

而图像显示，Γ(1) = 1，顺便说一下，标题图像是我们包含复数时 Gamma 函数行为的一种表示。

这就从一个完全不同的视角支持了同一个结论。

这篇文章并未穷尽所有解释。数学的奇妙之处之一，就在于它往往拥有多个视角，对同一问题呈现出万花筒般的不同面貌。

乍看之下，0! = 1 是一个不合情理的等式，然而深入思考你会发现，它既合乎逻辑，又出于必要，在不同语境下都有令人信服的理由。

这个小小的“1”，同时承载着代数的结构一致性、组合的抽象理解、积分理论的优雅定义和数学美的深邃奥义。