MATLAB实例讲解—求二元函数的极值

实例

程序

clc;
clear all;
close all;
%计算二元函数的极值点 并进行判断
syms x y  %定义二元变量 x y
z = (6*x-x^2)*(4*y-y^2);%定义二元变量函数
f1 = simplify(diff(z,x));%求z对x的一阶偏导
f2 = simplify(diff(z,y));%求z对y的一阶偏导
%求f1 = 0 f2 = 0
% [x1,y1] = solve(y*(2*x - 6)*(y - 4)==0,x*(2*y - 4)*(x - 6)==0,x,y); %求二元函数的驻点（x1,y1)
[x1,y1] = solve(f1==0,f2==0,x,y); %求二元函数的驻点（x1,y1)
x1 = double(x1); %将sym个数转化为double数值格式
y1 = double(y1);%将sym个数转化为double数值格式
n = length(x1);%求长度
%输出驻点个数
fprintf('二元函数z=f(x,y)的驻点个数为n =%d\r\n',n);
%输出驻点坐标
for i = 1:n
    fprintf('二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点为（x,y)=(%f,%f)\r\n',i,x1(i),y1(i));
end
%幅值A,B,C为空矩阵
A = [];
B = [];
C = [];
for i = 1:n
    %sub函数用来替换求解函数的具体某点的值和double函数将sym个数转化为double数值格式
    temp = double(subs(diff(z,x,2),[x y],[x1(i) y1(i)])); %计算A
    temp1 = double(subs(diff(f1,y,1),[x y],[x1(i) y1(i)]));%计算B
    temp2 = double(subs(diff(z,y,2),[x y],[x1(i) y1(i)]));%计算C
    A = [A;temp];%存储A的计算结果
    B = [B;temp1];%存储B的计算结果
    C = [C;temp2];%存储C的计算结果
end
%根据AC-B^2结果判断 若（x,y)计算值大于0，则存在极值点，反之不存在若A>0，则为极小值点，A<0,则为极大值点
R = A.*C-B.^2;
%判断
for i = 1:n
    if R(i)>0
        if A(i)>0
            %用subs函数计算极值点处的函数值，然后用double函数将sym格式化成数值格式
            ymax = double(subs(z,[x y],[x1(i) y1(i)]));
            fprintf('二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点（x,y)=(%f,%f)为极小值点，极小值为：%f\r\n',i,x1(i),y1(i),ymax);
        else
            ymin = double(subs(z,[x y],[x1(i) y1(i)]));
            fprintf('二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点（x,y)=(%f,%f)为极大值点，极大值为：%f\r\n',i,x1(i),y1(i),ymin);
        end
    else
        fprintf('二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点（x,y)=(%f,%f)不是极值点\r\n',i,x1(i),y1(i));
    end
end

结果

二元函数z=f(x,y)的驻点个数为n =5
二元函数z=f(x,y)的第1个驻点为（x,y)=(0.000000,0.000000)
二元函数z=f(x,y)的第2个驻点为（x,y)=(0.000000,4.000000)
二元函数z=f(x,y)的第3个驻点为（x,y)=(6.000000,0.000000)
二元函数z=f(x,y)的第4个驻点为（x,y)=(3.000000,2.000000)
二元函数z=f(x,y)的第5个驻点为（x,y)=(6.000000,4.000000)
二元函数z=f(x,y)的第1个驻点（x,y)=(0.000000,0.000000)不是极值点
二元函数z=f(x,y)的第2个驻点（x,y)=(0.000000,4.000000)不是极值点
二元函数z=f(x,y)的第3个驻点（x,y)=(6.000000,0.000000)不是极值点
二元函数z=f(x,y)的第4个驻点（x,y)=(3.000000,2.000000)为极大值点，极大值为：36.000000
二元函数z=f(x,y)的第5个驻点（x,y)=(6.000000,4.000000)不是极值点

1、diff函数

差分和近似导数

语法
Y = diff(X)
Y = diff(X,n)
Y = diff(X,n,dim)
说明
示例
Y = diff(X) 计算沿大小不等于 1 的第一个数组维度的 X 相邻元素之间的差分：
如果 X 是长度为 m 的向量，则 Y = diff(X) 返回长度为 m-1 的向量。Y 的元素是 X 相邻元素之间的差分。
Y = [X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)]
如果 X 是不为空的非向量 p×m 矩阵，则 Y = diff(X) 返回大小为 (p-1)×m 的矩阵，其元素是 X 的行之间的差分。
Y = [X(2,:)-X(1,:); X(3,:)-X(2,:); ... X(p,:)-X(p-1,:)]

如果 X 是 0×0 的空矩阵，则 Y = diff(X) 返回 0×0 的空矩阵。

X = [1 1 2 3 5 8 13 21];
Y = diff(X)

Y = 1×7

     0     1     1     2     3     5     8

请注意，Y 的元素比 X 少一个。

使用 diff 函数和语法 Y = diff(f)/h 求偏导数近似值，其中 f 是函数值在某些域 X 上计算的向量，h是一个相应的步长大小。

例如，sin(x) 相对于 x 的第一个导数为 cos(x)，相对于 x 的第二个导数值为 -sin(x)。可以使用 diff 求这些导数的近似值。

h = 0.001;       % step size
X = -pi:h:pi;    % domain
f = sin(X);      % range
Y = diff(f)/h;   % first derivative
Z = diff(Y)/h;   % second derivative
plot(X(:,1:length(Y)),Y,'r',X,f,'b', X(:,1:length(Z)),Z,'k')

在此绘图中，蓝色线条对应原始函数 sin。红色线条对应计算出的第一个导数 cos，黑色线条对应计算出的第二个导数 -sin。

syms x; 
diff(sin(x^2)) 

ans =
2*x*cos(x^2)

syms x t; 
diff(sin(x*t^2), t) 

ans =
2*t*x*cos(t^2*x)

给定函数f(x)=cosx/(x 3+7x+2)的一阶导数，并将每个点上的值与原函数的值通过matlab函数绘制出来.

一阶导数 syms x; 
f=cos(x)/(x^3+7*x+2); 
f1d=diff(f,x) 
pretty(f1d)

2、solve函数

简单来说，solve函数可以进行以下情况的求解：
（1）等式：单/多变量+线性/非线性 ；（2）不等式
语法
S = solve(eqn,var)example
S = solve(eqn,var,Name,Value)example
Y = solve(eqns,vars)
Y = solve(eqns,vars,Name,Value)example
[y1,...,yN] = solve(eqns,vars)example
[y1,...,yN] = solve(eqns,vars,Name,Value)
[y1,...,yN,parameters,conditions] = solve(eqns,vars,'ReturnConditions',true)example
Description

一些函数
vpa 设置数值的精度（有效数字位数、保留的小数点位数）
subs 符号替换（用数字来替换符号变量）
ezplot 简单地画出函数的图形/曲线（显函数fun(x)、隐函数fun2(x,y)=0）
isAlways 一个判断函数（返回logical 1，表示true）
pretty 漂亮地打印符号表达式（看起来是有分子分母的格式）

举例
1.%% 求解单变量方程
%-----例子1------
syms x
eqn=sin(x)==1;
solve(eqn,x)
%-----例子2------
syms x
eqn=sin(x)==1;
[solx,params,conds]=solve(eqn,x,'ReturnConditions',true)
%-----例子3---------------
%如果返回empty，则表明解不存在。如果返回empty+warning，则解可能存在，但是solve找不到
syms x
solve(3*x+2,3*x+1,x)

2.%% 求解多变量方程
%---例1-----------------
%为了避免求解方程时对符号参数产生混乱，需要指明一个等式中需要求解的变量。
%如果不指明的话，solve函数就会通过symvar选择一个变量（认为该变量是要求解的变量）

clc,clear
syms a b c x
sola=solve(a*x^2+b*x+c==0,a) %待求解的变量是a
sol=solve(a*x^2+b*x+c==0) %待求解的变量是x

3、subs函数

matlab中subs()是符号计算函数，表示将符号表达式中的某些符号变量替换为指定的新的变量，常用调用方式为：
subs(S,OLD,NEW) 表示将符号表达式S中的符号变量OLD替换为新的值NEW。
下面具体演示4种不同形式的OLD和NEW的调用效果：
首先在matlab命令窗口输入如下代码，定义三个符号变量和一个符号表达式S
1、将变量x替换为数值1：subs(S,x,1)
2、将变量x替换为变量z：subs(S,x,z)
3、同时将变量x和y分别替换为1和z：subs(S,{x,y},{1,z})
4、将单变量替换为数组：subs(S,x,[1 2;3 4])
首先是调用格式：
R = subs(S)
R = subs(S, new)
R = subs(S, old, new)
其中S为符号表达式，默认的是变量x！

下面看几个例子，相信大家就是使用了！

例1：

>> syms x;
>> f=x^2;
>> subs(f,2)

ans =

4

例2：将表达式x^2+y^2中x取值为2

>> syms x y;
>> f=x^2+y^2;
>> subs(f,x,2)

ans =

y^2 + 4

例3：

>> syms x y;
>> f=x^2+y^2;
>> subs(f,findsym(f),2)

ans =

y^2 + 4

其中findsym(f)为查找f中所有的符号变量

例4：同时对两个或多个变量取值求解

>> syms a b;
subs(cos(a) + sin(b), {a, b}, {sym('alpha'), 2})

ans =
sin(2) + cos(alpha)

例5：带入数据的值也可以是数组形式

>> syms t a;
>> subs(exp(a*t), 'a', -magic(2))

ans =

[ 1/exp(t), 1/exp(3*t)]
[ 1/exp(4*t), 1/exp(2*t)]

4、符号表达式化简函数

语法：命令（符号表达式）
1. pretty(f)将符号表达式f化简成语高等代数课本上显示符号表示类似；
2. collect(f)合并符号表达式的同类项;
3. hornet(f)将一般的符号表达式转换成嵌套形式的符号表达式;
4. factor(f)对符号表达式进行因式分解;
5. expand(f)对表达式进行展开;
6. simplify(f)对符号表达式进行化简，利用各种类型的恒等式，包括求和，求积分，三角函数以及Bessel函数等简化符号表达式.
7. simple(f)对符号表达式尝试各种不同的算法进行化简，以显示长度最短的符号表达式简化形式;
8. [r,how]=simple(f)返回的r为符号表达式进行化简后的形式，how为采用的简化方法

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作 者 | 郭志龙

编 辑 | 郭志龙
校 对 | 郭志龙