「数学」微分方程第一步，吃透概念-复数，多项式方程及矩阵理论

最近我开启了“量子力学之路”系列，旨在从数理角度从零解释量子力学。正如我在系列的第一篇文章量子力学之路——坚实的数理基础至关重要，没有捷径可走中提到的那样，学习量子力学有一些先决条件，而一些先决条件并不简单，如很多数学主题，这些主题我在“量子力学之路”系列中一般都会讲到，但不会深入。因此我决定同步开启“微分方程”系列，这是本系列的第一篇文章。

复数

复数就是形如x+iy的数字，其中x和y是实数，i^2=-1。实数x和y分别称为z的实部和虚部，表示为：

如果z=x+iy，则z=x-iy称为z的复共轭。很容易得出：

定理（1）

对于复数z和w，有以下7个性质：

笛卡尔和指数形式

复数可以绘制在一个矩形网格上，类似于实数对（x，y）被绘制在一个直角坐标系统上。你可以简单地用一对实数(x,y)来确定复数z=x+iy，并绘制（x，y）。y轴称为虚轴，x轴称为实轴。

也可以用极坐标（θ， r）来表示：

定理（2）（很重要）

对于复数z=x+iy，

多项式方程的根

设p_n(x)和q_n(x)为n次多项式，可以假设p_n(x)的形式为：

系数a_i可能不是实数，但在本系列文章中它们总是实数。在任何情况下，代数基本定理表明，方程p_n(x)=0有n个解。

假设x=r是p_n(x)的根。那么：

如果p_n(x)除以x-r，就得到恒等式：

其中R为常数，q_(n-1)(x)为n-1次多项式。因此，

但上面的式子是关于x的恒等式，通过令x=r，我们可以得到r =0当且仅当p_n(r)=0，也就是说，当且仅当r是p_n(x)的根。

定理（3）

对于每一个多项式

存在n个复数r_1， r_2，…，r_n，称为多项式的根，使得

1. P_n (r_i)=0，对于所有i=1，2，…，n
2. p_n(x)=(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)

而且，对于一些i，如果p_n(r)=0，则r=r_i。

定理（4）

假设r=a+ib, b≠0，是下面多项式的根

那r的共轭（ r=a-ib）也是多项式的一个根。

矩阵表示

矩阵是一组数字的矩形数组。一般来说，矩阵用黑体字大写字母表示。我们用A来表示p×q矩阵，它的元素是a_ij。也就是

只有一列的矩阵称为向量。我们用黑体小写字母来表示向量，这与我们对矩阵的约定一致。A的列向量就是

对于联立方程组

系数矩阵为

右边常数用向量b表示：

增广矩阵B由A和b表示：

未知量用向量x表示：

行数和列数相同的矩阵称为方阵。方阵的非对角元素是a_ij，其中i≠j。非对角元素都为零的方阵称为对角阵。

I_n矩阵（其中n是正整数），是所有对角元素都是1的对角矩阵。这些矩阵称为单位矩阵。所以：

是单位矩阵。I_n的列被赋予特殊的符号e_1，e_2，…，e_n；也就是：

当上下文明确了I_n的大小时，就可以去掉下标n。那些位于对角线以下的非对角线项为零的方阵称为上三角矩阵（上三角矩阵同理可得）。

我们定义0矩阵O_n为nXn矩阵，它所有的元素都是0。所以O_n也是对角线。

方程组的解

我们可以用消元法来解方程组。注意消去过程很大程度上依赖于每个方程中未知变量的系数。

把方程组的系数和方程组右边的常数放在一起得到一个增广矩阵。化简这个增广矩阵可以得到方程组的解。注意，当系数矩阵简化为单位矩阵时，右边的系数列就是解向量。

从矩阵A到矩阵B的算术步骤叫做初等行运算。这些运算分为三种类型：

1. 交换任意两行。
2. 将一行乘以一个非零标量。
3. 将一行的α倍添加到另一行的β倍。

这里的关键点是初等行运算用另一个方程组替换了一个方程组，后者的解集与前者的解集相同。这种解法称为高斯消去法。

矩阵代数

设m×n矩阵A和B为：

对于所有的i和j，如果a_ij=b_ij，则A=B。因此，两个矩阵相等，意味着矩阵相应项相等。

我们现在定义矩阵A+B和矩阵与任意标量k的乘法：

由上面的定义可以得到下列代数规则：

1. A+B=B+A
2. A+(B+C)=(A+B)+C
3. A+O=A
4. A+(-1)A=O
5. 0A=O
6. k(hA)=(kh)A
7. k(A+B)=kA+kB
8. (k+h)A=kA+hA

用第一列替换第一行，用第二列替换第二行，以此类推，直到所有的列都变成行。由这个交换得到的矩阵称为原矩阵的转置，[a_ij]^T=[a_ji]。我们用A^T来表示A的转置。

一个向量的转置是一个只有一行的矩阵，有时称为行向量。为了避免混淆，我们用逗号分隔行向量的各个元素。

请注意，转置和加法的定义引出了这样的结论：C=A+B意味着C^T=A^T+B^T。

如果矩阵A等于它自己的转置，即A^T=A，那么它就是对称的；如果A^T=-A，那么它是反对称的。对称矩阵和反对称矩阵必须是方阵。

矩阵乘法

如果A是m×q矩阵，元素为a_ij ；B是q×n矩阵，元素为b_ij，那么乘积C=AB是m×n矩阵，c_ij为：

为了使上面的定义有意义，A的每一行必须有和B的每一列有一样多的元素。这意味着A的列数必须与B的行数相同。

因此，如果A是2×3矩阵, B是3×3矩阵，那么AB是有定义的，而BA没有定义。因此矩阵乘法是不满足交换律的。

以下事实适用于所有大小兼容的A、B和C：

1. A(BC)=(AB)C
2. A(A+C)=AB+AC
3. (B+C)A=BA+CA

能说明矩阵乘法的特性的一个例子：

这表明即使A和B都不为0，AB也可以是0。

两个矩阵乘积的转置，是它们转置的逆序乘积：

这个结果扩展到三个或更多个矩阵的乘积。

矩阵乘法提供了一种将方程组写成紧凑形式的方法。

上面可以写成Ax=b。我们将反复使用这个表达。在不明确A的大小的情况下，我们假设A是m×n，因此x是一个有n个元素的向量，b是一个有m个元素的向量，尽管在大多数应用中m=n。

矩阵的逆

为了达到类似的目的，我们引入了矩阵逆的符号。如果存在一个方阵B，使AB=I=BA，那么方阵A就是非奇异的，或者说有一个逆，或者说是可逆的。很明显，不是所有的矩阵都有逆矩阵。

由于A的逆矩阵只有一个，所以如果AB=I=BA成立，我们称B为A的逆矩阵，并将B写成A^(-1)。用这种表示法，AB=I=BA可以写成AA^(-1)=(A^(-1))(A)=I。

一个不可逆的方阵就是一个A^(-1)不存在的方阵。这样的矩阵称为奇异或不可逆矩阵。

如果A是2x2矩阵

且ad-bc≠0，那么

定理（5）

假设A和B都是可逆的。那么

1. (A^(-1))^(-1)=A
2. (AB)^(-1)=(B^(-1))(A^(-1))
3. (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T

定理（6）

假设A是可逆的。那么Ax=b有且只有一个解，x=A^(-1)b。

结论（1）

当且仅当A是奇异阵时，方程组Ax=0有解x≠0。当且仅当A是可逆的，这个方程组只有解x=0。

行列式

定义与基本定理

A的行列式是一个只在方阵中定义的标量，记作det(A)。它有n的阶乘项，每一项是A的元素的正负乘积：

其中第二个下标，由*表示，是数字{1，2，…，n}之一，其中没有一个被使用两次。指数k是第二个下标的逆序数。因此，

由于数字{1，2，…，n}的每个排列都有一项，所以上面的和包含n的阶乘项。由于这个原因，实际上并不使用上面的求和来计算。如果n=2，定义是容易使用的，

有两种常用的det(A)的求值方法。在本节中，我们将探讨最高效的方法。该方法依赖于两个基本定理：

定理（7）

如果A是上或下三角矩阵，对角元素为a_11，a_22，…，a_nn，那么det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。

定理（8）

设A是一个方阵。

1. 如果A的两行元素互换形成B，那么，det(A)=-det(B)
2. 如果A的一行乘以k得到B，那么kdet(A)=det(B)
3. 如果A的一行的倍数加到A的另一行形成B, 那么det(A)=det(B)

这两个定理为计算行列式提供了一种有效的方法。注意，定理8描述了初等行运算对det(A)的影响。

我们可以快速准确地计算初等行变换的结果。所以对于含有已知常数项的矩阵，行化成三角矩阵是计算行列式的首选方法。对于有参数项的矩阵，通常使用其他方法。

由于矩阵乘法和行列式的定义复杂，乘积的行列式和行列式的乘积之间存在着一种简单的关系：

定理（9）

如果A和B是方阵，det(AB)=det(A)det(B)

如果det(A)=0，那么A一定是奇异的。反之亦然。

定理（10）

det(A)=0是A是奇异的一个充要条件。

定理（11）

对于每个方阵A，det(A)=det(A^T)

余子式与代数余子式

a_ij的余子式是，去掉A的第i行和第j列形成的矩阵的行列式。

a_ij的代数余子式写成A_ij，等于余子式乘以 (-1)^(i+j)。代数余子式的重要性是由于以下的重要定理：

定理（12）

对于每个i和j，

线性独立（线性无关）

方程组Ax=0可以有无穷多个解。为了描述这种系统的所有解的集合，我们必须首先理解线性无关的概念。

假设已知k个向量a_1， a_2，…，a_k和k个标量c_1 ，c_2…，c_k。考虑到表达式

不是全部为零如果上面的方程对某些标量成立（不是全部为零），那么向量a_1，a_2，…，a_k就是线性相关的，标量c_1，c_2，…，c_k就叫作权值。由上式可知

其中 c_1≠0。上面的方程表明a_1是其他向量的“加权和”。

如果一个给定的向量组不是线性相关的，那么它称为线性无关的。由于线性无关的集合不可能存在依赖关系，

意味着所有的标量系数必须是零。

一般来说，我们不能轻易判定一个向量组是否是线性无关的，也不能轻易求出权值（如果向量组是线性相关的）。

但我们可以把上式重写为矩阵向量的形式，为此，定义一个矩阵A，它的列是向量a_1，a_2，…，a_k，它的项的权值是c_1，c_2，…，a_k。因此：

根据矩阵乘法的定义：

因此，当且仅当 Ac=0存在非零解时，矩阵A的列向量才是线性无关的。那么，c的元素就是权值。

如果矩阵A是方阵，那么基于线性相关的行列式的判据是可能和方便的。基本的思想是：如果A是可逆的，那么推论1，系统Ac+0只有平凡解，因为

证明了c一定是0。下面的定理将det(A)与A的行和列的线性无关联系起来。

定理（13）

当且仅当det(A)≠0时，n×n矩阵A的行(列)是线性无关的。